열전달 모듈에서 복사 형상계수(view factors) 계산
//과거에 COMSOL Multiphysics 를 이용해서 복사 형상계수(view factors)를 확인하는 기능에 대한 요청이 종종 있었습니다. 그 기능이 얼마나 정확한지, 입력 파라미터(격자크기, 복사분해능 등)가 정확성에 미치는 영향은 무엇인지 등의 대한 요청들이었습니다.
5.0버전은 표면-대-표면 방정식을 생성하는데 사용되는 연산자와 일치하는 후처리를 위한 새로운 연산자를 제공합니다. 지금부터 그 연산자에 대한 소개와 기하학적 형상계수를 어떻게 계산하는지 예제를 통해 보여드리도록 하겠습니다.
1. 복사 형상계수(view factors)에 대해
열전달 계산에서 현실성과 정확성을 반영하기 위해 종종 표면-대-표면 복사 계산을 수행하는 것을 요구합니다. 표면-대-표면 복사를 시뮬레이션 하기 위한 수치도구는 전도나 대류를 시뮬레이션 하기 위한 것들과 상당히 다릅니다. 표면-대-표면 복사는 비국소 값-형상계수 과 복사선을 발산과 수렴하는 방사 표면 사이에 의해 결정되는 반면 전도나 대류는 편미분 방정식(PDEs)의 국소 이산화를 기반으로 합니다. 표면-대-표면 복사가 활성화되면, 열 인터페이스는 표면-대-표면 복사에서 방사변수 등을 계산하는 일련의 연산자들을 만듭니다. 이러한 연산자들 덕분에 방사변수 값들을 구하는 것과 주어진 형상에서 기하학적 형상계수를 계산하는 것이 가능합니다. 이 블로그에서는 형상계수의 분석적 값들을 구할 수 있는 간단한 3D 형상에서 기하학적 형상계수를 어떻게 계산하는지 설명할 것입니다.
2. 연산자
COMSOL Multiphysics 5.0버전에서 새로운 연산자는 표면-대-표면 복사 방정식을 생성하는데 사용되는 모든 정보에 대한 전체 접근 권한을 제공합니다. 이것은 다른 비 투과 특성을 가진 쉘의 양쪽에서의 복사와 다중 분광대역과 같은 고급 구성에서도 마찬가지 입니다.
표면이 gray 특성을 가진다고 가정한 가장 단순한 경우를 예를 들겠습니다. 이 경우, 우리는 분광 대역을 구별 할 필요가 없습니다. 표면의 각 면(위 또는 아래)에 하나씩 총 두 개의 연산자를 가집니다. 연산자들은 다음과 같습니다.
- radopu(expr_up,expr_down)
- radopd(expr_up,expr_down)
이러한 두 연산자는 표면-대-표면 복사가 활성화된 경계에서 계산될 수 있도록 만들어집니다.
열 인터페이스의 태그를 ‘ht‘라 가정하면 ht.radopu(ht.Ju,ht.Jd)는 경계의 상부지점에서 계산된 상호 표면 방사 ‘Ht.Gm_u’을 출력합니다. ht.Ju 와 ht.Jd 각 각 경계의 위쪽 및 아래쪽 radiosity를 정의함을 숙지하십시오. ht,radopd(ht.Ju,ht.Jd)는 경계의 하부지점에서 계산된 상호 표면 방사 ‘ht.Gm_d’를 출력합니다.
다중 분광대역이 고려될 때, 주어진 경계는 비투과 분광대역과 그 외 대역에서는 투과 분광대역이 될 수 있습니다. 따라서 한 쌍의 연산자들이 분광대역별로 필요하게 되는 것입니다. 그들은 gray 표면에 대한 연산자처럼 정확하게 작동되며 다음과 같은 이름으로 지정됩니다.
- 첫 번째 분광대역: ht.radopB1u(expr_up,expr_down) and ht.radopB1d(expr_up,expr_down)
- 두 번째 분광대역: ht.radopB2u(expr_up,expr_down) and ht.radopB2d(expr_up,expr_down)
- 세 번째 분광대역: ht.radopB3u(expr_up,expr_down) and ht.radopB3d(expr_up,expr_down)
- 기타.
3. 형상계수(view factors) 정의
두 개의 방사 gray 표면 S1, S2 를 고려해봅시다. 우리는 복사가 이들 표면의 위쪽에서만 발생한다고 가정합니다. 열의 관점에서, S1과 S2 사이의 형상계수, FS1-S2, 는 S1에서 빠져나가 S2에서 가져가는 방사에너지와 S1에서 빠져나가는 총 방사에너지 사이의 비율입니다.
위에서 사용된 연산자를 이용하면 우리는 식 (1)과 같이 표현 할 수 있습니다.
(1) |
명료성을 위해 접두사 ht.는 제거되었습니다. radiosity는 모든 면에서 같은 값을 가진다고 가정하면, 상기 정의는 간단해 지며 더 이상 J에 종속되지 않습니다. 이러한 경우, FS1-S2는 기하학적 구성에 종속되며 더 이상 열의 구성에 종속되지 않습니다. 이것을 열복사를 기반으로 한 형상계수와 구별하기 위해 기하학적 형상계수라고 명명 하겠습니다.
우리는 이제 식(1)을 식(2)와같이 표현 할 수 있습니다.
(2) |
S1은 표면 또는 그 영역 중 하나를 나타내며 IS1은 S1에서 계산될 때 1을 다른 곳에서는 0을 가지는 표면 S1의 함수표시자 입니다.
4. 기준케이스: 두 개의 동일 동심원 구
새로운 연산자에 익숙해지고 그 정확성을 확인하기 위해, 간단한 형상을 선택했습니다. 그 형상은 아래 그림처럼 두 개의 동일 동심원으로 구성된 반경 Rint과 Rext (Rint<Rext)의 구로 구성되어 있습니다.
복사는 작은 구형의 외부 측과 큰 구의 내부면 사이에서 발생합니다. 기하학적 형상계수는 다음과 같습니다.
여기서, Sint 와 Sext는 각 각 내부 및 외부 구를 나타냅니다.
5. COMSOL Multiphysics 에서 검증
COMSOL Multiphysics 에서 기하학적 형상계수를 계산하기 위해 우리는 표면-대-표면 복사를 활성화 시킨 열 인터페이스가 필요하며 그 다음에 형상을 그리고 격자를 만드는 것이 필요합니다.
그 다음, 우리가 기하학적 형상계수에 관심이 있기 때문에 열 전달 시뮬레이션을 수행할 필요는 없습니다. radopu 와 radopd 연산자에 접근을 하기 위해 초기 값을 가지는 정도면 충분합니다. 그러나 해석을 수행하기 전에 우리는 후 처리에 사용될 표면 표시자와 적분연산자를 미리 준비하는 것이 좋습니다.
6. 표면 표시자
기하학적 형상계수 표현에서, 우리는 표면 표시자로 IS과 IS2를 사용하였습니다. 이러한 표시자는 COMSOL Multiphysics 에서 Variables로 정의되며 Geometric Entity Selection에서 경계표면들을 선택하여 정의합니다. 1로 일치하는 표면을 제외하면 표면 표시자는 어디서나 0입니다.
그것들을 ext 및 int 로 명명합니다.
표면 표시자를 위한 Geometric Entity Selection 설정의 스크린샷 |
7. Sint 및 Sext에 대한 적분
다음으로, 우리는 적분 연산자 intop_ext와 intop_int을 정의합니다. 그 연산자들은 표면 적분을 간단히 계산하게 만들어 줍니다; 예를 들면, Sext의 표면은 intop_ext(1)으로 계산될 수 있습니다.
적분 연산자를 설정하기 위한 스크린샷 |
8. 경계의 복사면 확인
우리는 복사가 경계의 상부, 하부 또는 양측에서 발생할 수 있음을 보아왔습니다. 복사 연산자는 각 면으로부터 발생하는 복사를 구별 할 수 있도록 구성됩니다. 그러므로, 우리는 이 모델에서 면들을 확인할 필요가 있습니다. 그것은 COMSOL Multiphysics의 Physics>Diffuse Surface에서 복사 방향을 설정해주는 기능을 통하여 간단하게 수행할 수 있습니다. 복사가 하부 면에서 발생한다면 “Negative normal direction” 또는 상부 면에서 발생한다면 “Positive normal direction”으로 설정합니다(양방향에서 발생한다면 “Both sides”로 설정 가능합니다). COMSOL Multiphysics의 Graphic 창에 나타난 방사표면에서의 화살표 방향을 통해 복사 방향을 가시적으로도 확인이 가능합니다. 본 예제에서 복사는 Sext의 하부면 Sint의 상부면 에서 발생합니다.
9. 기하학적 형상계수 계산,
기하학적 형상계수의 계산은 식 (1)과 유사한 표현을 사용해서 형상계수를 직접 계산이 가능하도록 합니다. 예를 들면
(3) |
식 (3)은 COMSOL Multiphysics 구문 ‘intop_ext(comp1.ht.radopd(0,ext))/intop_ext(1)’ 으로 계산 됩니다. Radopd의 사용은 복사는 Sext의 하부 면에서 발생한다는 사실에 기인합니다. Radopd의 첫 번째 인수는 같은 이유로 ‘0’ 입니다.
(4) |
식 (4)는 ‘intop_ext(comp1.ht.radopd(int,0))/intop_int(1)’로 계산되어집니다. Radopd는 복사가 Sext의 하부에서 발생한다는 사실에 기인합니다. 그러나 이번에는, radopd의 두 번째 인수는 ‘0’입니다. 왜냐하면 Sint의 상부에서 복사가 발생하기 때문입니다.
분석값과 해석값의 비교 |
복사 연산자 덕분에 우리는 기하학적 형상계수를 구할 수 있었습니다.
10. 결론
전용 연산자 덕분에COMSOL Multiphysics 5.0으로 방사표면 사이에서 기하학적 형상계수를 계산하는 것이 가능했습니다. 이것은 표면-대-표면 기능이 출시된 이후 받아온 요청에 대한 솔루션을 제공합니다. 이러한 연산자는 표면-대-표면 복사 방정식의 모든 항을 제공하기에 유연하며 본 블로그에서 언급된 것이 이외에도 다른 정량에 대한 방정식들을 수식화 하는 등
더 많은 것들을 할 수 있습니다.