열전달 모듈에서 복사 형상계수(view factors) 계산

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과거에 COMSOL Multiphysics 를 이용해서 복사 형상계수(view factors)를 확인하는 기능에 대한 요청이 종종 있었습니다. 그 기능이 얼마나 정확한지, 입력 파라미터(격자크기, 복사분해능 등)가 정확성에 미치는 영향은 무엇인지 등의 대한 요청들이었습니다.

5.0버전은 표면-대-표면 방정식을 생성하는데 사용되는 연산자와 일치하는 후처리를 위한 새로운 연산자를 제공합니다. 지금부터 그 연산자에 대한 소개와 기하학적 형상계수를 어떻게 계산하는지 예제를 통해 보여드리도록 하겠습니다.

 

1. 복사 형상계수(view factors)에 대해

열전달 계산에서 현실성과 정확성을 반영하기 위해 종종 표면-대-표면 복사 계산을 수행하는 것을 요구합니다. 표면-대-표면 복사를 시뮬레이션 하기 위한 수치도구는 전도나 대류를 시뮬레이션 하기 위한 것들과 상당히 다릅니다. 표면-대-표면 복사는 비국소 값-형상계수 과 복사선을 발산과 수렴하는 방사 표면 사이에 의해 결정되는 반면 전도나 대류는 편미분 방정식(PDEs)의 국소 이산화를 기반으로 합니다. 표면-대-표면 복사가 활성화되면, 열 인터페이스는 표면-대-표면 복사에서 방사변수 등을 계산하는 일련의 연산자들을 만듭니다. 이러한 연산자들 덕분에 방사변수 값들을 구하는 것과 주어진 형상에서 기하학적 형상계수를 계산하는 것이 가능합니다. 이 블로그에서는 형상계수의 분석적 값들을 구할 수 있는 간단한 3D 형상에서 기하학적 형상계수를 어떻게 계산하는지 설명할 것입니다.

 

2. 연산자

COMSOL Multiphysics 5.0버전에서 새로운 연산자는 표면-대-표면 복사 방정식을 생성하는데 사용되는 모든 정보에 대한 전체 접근 권한을 제공합니다. 이것은 다른 비 투과 특성을 가진 쉘의 양쪽에서의 복사와 다중 분광대역과 같은 고급 구성에서도 마찬가지 입니다.

표면이 gray 특성을 가진다고 가정한 가장 단순한 경우를 예를 들겠습니다. 이 경우, 우리는 분광 대역을 구별 할 필요가 없습니다. 표면의 각 면(위 또는 아래)에 하나씩 총 두 개의 연산자를 가집니다. 연산자들은 다음과 같습니다.

  • radopu(expr_up,expr_down)
  • radopd(expr_up,expr_down)

이러한 두 연산자는 표면-대-표면 복사가 활성화된 경계에서 계산될 수 있도록 만들어집니다.

열 인터페이스의 태그를 ‘ht‘라 가정하면 ht.radopu(ht.Ju,ht.Jd)는 경계의 상부지점에서 계산된 상호 표면 방사 ‘Ht.Gm_u’을 출력합니다. ht.Ju 와 ht.Jd 각 각 경계의 위쪽 및 아래쪽 radiosity를 정의함을 숙지하십시오. ht,radopd(ht.Ju,ht.Jd)는 경계의 하부지점에서 계산된 상호 표면 방사 ‘ht.Gm_d’를 출력합니다.

다중 분광대역이 고려될 때, 주어진 경계는 비투과 분광대역과 그 외 대역에서는 투과 분광대역이 될 수 있습니다. 따라서 한 쌍의 연산자들이 분광대역별로 필요하게 되는 것입니다. 그들은 gray 표면에 대한 연산자처럼 정확하게 작동되며 다음과 같은 이름으로 지정됩니다.

  • 첫 번째 분광대역: ht.radopB1u(expr_up,expr_down) and ht.radopB1d(expr_up,expr_down)
  • 두 번째 분광대역: ht.radopB2u(expr_up,expr_down) and ht.radopB2d(expr_up,expr_down)
  • 세 번째 분광대역: ht.radopB3u(expr_up,expr_down) and ht.radopB3d(expr_up,expr_down)
  • 기타.

 

3. 형상계수(view factors) 정의

두 개의 방사 gray 표면 S1, S2 를 고려해봅시다. 우리는 복사가 이들 표면의 위쪽에서만 발생한다고 가정합니다. 열의 관점에서, S1과 S2 사이의 형상계수, FS1-S2, 는 S1에서 빠져나가 S2에서 가져가는 방사에너지와 S1에서 빠져나가는 총 방사에너지 사이의 비율입니다.
위에서 사용된 연산자를 이용하면 우리는 식 (1)과 같이 표현 할 수 있습니다.

(1) 59_blog_01

명료성을 위해 접두사 ht.는 제거되었습니다. radiosity는 모든 면에서 같은 값을 가진다고 가정하면, 상기 정의는 간단해 지며 더 이상 J에 종속되지 않습니다. 이러한 경우, FS1-S2는 기하학적 구성에 종속되며 더 이상 열의 구성에 종속되지 않습니다. 이것을 열복사를 기반으로 한 형상계수와 구별하기 위해 기하학적 형상계수라고 명명 하겠습니다.

우리는 이제 식(1)을 식(2)와같이 표현 할 수 있습니다.

(2)59_blog_02

S1은 표면 또는 그 영역 중 하나를 나타내며 IS1은 S1에서 계산될 때 1을 다른 곳에서는 0을 가지는 표면 S1의 함수표시자 입니다.

 

4. 기준케이스: 두 개의 동일 동심원 구

새로운 연산자에 익숙해지고 그 정확성을 확인하기 위해, 간단한 형상을 선택했습니다. 그 형상은 아래 그림처럼 두 개의 동일 동심원으로 구성된 반경 Rint과 Rext (Rint<Rext)의 구로 구성되어 있습니다.

59_blog_03

복사는 작은 구형의 외부 측과 큰 구의 내부면 사이에서 발생합니다. 기하학적 형상계수는 다음과 같습니다.

59_blog_04

여기서, Sint 와 Sext는 각 각 내부 및 외부 구를 나타냅니다.

 

5. COMSOL Multiphysics 에서 검증

COMSOL Multiphysics 에서 기하학적 형상계수를 계산하기 위해 우리는 표면-대-표면 복사를 활성화 시킨 열 인터페이스가 필요하며 그 다음에 형상을 그리고 격자를 만드는 것이 필요합니다.

59_blog_05

그 다음, 우리가 기하학적 형상계수에 관심이 있기 때문에 열 전달 시뮬레이션을 수행할 필요는 없습니다. radopu 와 radopd 연산자에 접근을 하기 위해 초기 값을 가지는 정도면 충분합니다. 그러나 해석을 수행하기 전에 우리는 후 처리에 사용될 표면 표시자와 적분연산자를 미리 준비하는 것이 좋습니다.

 

6. 표면 표시자

기하학적 형상계수 표현에서, 우리는 표면 표시자로 IS과 IS2를 사용하였습니다. 이러한 표시자는 COMSOL Multiphysics 에서 Variables로 정의되며 Geometric Entity Selection에서 경계표면들을 선택하여 정의합니다. 1로 일치하는 표면을 제외하면 표면 표시자는 어디서나 0입니다.

그것들을 ext 및 int 로 명명합니다.

59_blog_06

표면 표시자를 위한 Geometric Entity Selection 설정의 스크린샷

 

7. Sint 및 Sext에 대한 적분

다음으로, 우리는 적분 연산자 intop_ext와 intop_int을 정의합니다. 그 연산자들은 표면 적분을 간단히 계산하게 만들어 줍니다; 예를 들면, Sext의 표면은 intop_ext(1)으로 계산될 수 있습니다.

59_blog_07

적분 연산자를 설정하기 위한 스크린샷

 

8. 경계의 복사면 확인

우리는 복사가 경계의 상부, 하부 또는 양측에서 발생할 수 있음을 보아왔습니다. 복사 연산자는 각 면으로부터 발생하는 복사를 구별 할 수 있도록 구성됩니다. 그러므로, 우리는 이 모델에서 면들을 확인할 필요가 있습니다. 그것은 COMSOL Multiphysics의 Physics>Diffuse Surface에서 복사 방향을 설정해주는 기능을 통하여 간단하게 수행할 수 있습니다. 복사가 하부 면에서 발생한다면 “Negative normal direction” 또는 상부 면에서 발생한다면 “Positive normal direction”으로 설정합니다(양방향에서 발생한다면 “Both sides”로 설정 가능합니다). COMSOL Multiphysics의 Graphic 창에 나타난 방사표면에서의 화살표 방향을 통해 복사 방향을 가시적으로도 확인이 가능합니다. 본 예제에서 복사는 Sext의 하부면 Sint의 상부면 에서 발생합니다.

 

9. 기하학적 형상계수 계산,

기하학적 형상계수의 계산은 식 (1)과 유사한 표현을 사용해서 형상계수를 직접 계산이 가능하도록 합니다. 예를 들면

(3)59_blog_08

식 (3)은 COMSOL Multiphysics 구문 ‘intop_ext(comp1.ht.radopd(0,ext))/intop_ext(1)’ 으로 계산 됩니다. Radopd의 사용은 복사는 Sext의 하부 면에서 발생한다는 사실에 기인합니다. Radopd의 첫 번째 인수는 같은 이유로 ‘0’ 입니다.

(4)59_blog_09

식 (4)는 ‘intop_ext(comp1.ht.radopd(int,0))/intop_int(1)’로 계산되어집니다. Radopd는 복사가 Sext의 하부에서 발생한다는 사실에 기인합니다. 그러나 이번에는, radopd의 두 번째 인수는 ‘0’입니다. 왜냐하면 Sint의 상부에서 복사가 발생하기 때문입니다.

59_blog_10

분석값과 해석값의 비교

복사 연산자 덕분에 우리는 기하학적 형상계수를 구할 수 있었습니다.

 

10. 결론

전용 연산자 덕분에COMSOL Multiphysics 5.0으로 방사표면 사이에서 기하학적 형상계수를 계산하는 것이 가능했습니다. 이것은 표면-대-표면 기능이 출시된 이후 받아온 요청에 대한 솔루션을 제공합니다. 이러한 연산자는 표면-대-표면 복사 방정식의 모든 항을 제공하기에 유연하며 본 블로그에서 언급된 것이 이외에도 다른 정량에 대한 방정식들을 수식화 하는 등
더 많은 것들을 할 수 있습니다.

유도 결합형 플라즈마(ICP)에서 이온 온도

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플라즈마 모델링을 할 때, 이온 온도를 선택하는 다양한 방법들이 존재합니다. 하지만 선택에 따라서 잘못된 결과를 얻을 수도 있습니다. 이제 이러한 현상이 일어나는 이론적인 이유와 Inductively coupled plasma(ICP)를 예로 들어 이온 온도 설정에 따라서 해석 결과가 어떻게 달라지는지 알아보도록 하겠습니다.

 

이온 온도 선택

비-평형 저온 플라즈마는 기체의 온도보다 훨씬 높은 온도의 전자 온도를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 일반적으로 플라즈마 모델링을 할 때, 이온 온도는 가스 온도와 같도록 설정됩니다. 이러한 가정은 이온들이 중성 기체 분자들과 오랜 시간 동안 충돌이 일어나고 배경 기체들과 열적으로 평형이 되므로 적합합니다. 특히 ICP처럼 압력이 낮고 이온의 평균 자유 행로의 길이가 플라즈마 반응기의 대표 길이와 비슷해진다면 더욱 들어맞게 됩니다. 게다가 충돌 횟수가 낮기 때문에 이온 온도는 반응가스의 온도와 전자 온도 사이에 존재하게 됩니다.

COMSOL Multiphysics가 이온 온도를 계산하지 않지만, 사용자가 이용할 수 있는 몇몇 옵션들을 제공하고 있습니다.

사용자는 이온 온도를 기체 온도와 같도록 설정하거나 user-defined value나 expression 값을 이용할 수도 있습니다. 또한 전기장과 ion mobility 사이에 상관관계를 정의하기 위해서 선택할 수 있으며, Local Field Approximation을 이용하여 Einstein relation을 적용할 수 있습니다.

이전에 언급했던 것처럼, 특히 저압 플라즈마에서는 사용자가 선택한 이온 온도는 해석 결과에 많은 영향을 줄 수 있습니다. 지금부터는 이러한 현상을 설명할 수 있는 이론적인 이유를 알아보도록 하겠습니다.

 

이론적 배경

분자 이동과 이온 이동 문제에서 Drift Diffusion 근사를 적용한 연속 방정식은 각각의 종에 대하여 해석됩니다. k종을 위한 mass fraction 57_blog_01값은 플럭스57_blog_02와 반응항 57_blog_03에 의해서 결정됩니다. 이와 같은 경우에 대류와 열 확산은 간략화를 위해 무시됩니다.

57_blog_04

플럭스 57_blog_02를 계산하기 위해서 mixture averaged diffusion coefficient 57_blog_05 그리고 ion mobility  57_blog_06값이 요구됩니다.

57_blog_07

57_blog_08

기체에 대한 역학이론에 의해 binary diffusion coefficients Dkj는 mixture averaged diffusion coefficient 57_blog_05를 구하기 위해서 계산됩니다. 사용자는 각각의 플라즈마 종에 대하여 정의하여야 하며, Lenard-Jones parameters 57_blog_09 는 이미 알고 있습니다.

57_blog_10

 

ion mobility는 다음의 Einstein relation을 이용하여 얻습니다.

57_blog_11

반응기 벽에서 벽 쪽으로 향하는 이온 플럭스 57_blog_02는 다음 식에 의해서 구해집니다.

57_blog_12

이온 온도는 ion mobility와 반응기 벽으로 향하는 플럭스를 계산하기 위해서 필요합니다. 그러므로 이온 온도는 플라즈마 모델에서 이온들의 이동 특성에 특히 많은 영향을 미치게 됩니다. 만약 플럭스의 migration part가 diffusion part보다 크다면, 이온 온도의 중요도는 더욱 커지게 됩니다. 이것은 극-저압이거나 전기장의 세기가 높을 경우에 두드러집니다.

 

Local Field Approximation(LFA) 사용

사용자는 COMSOL Multiphysics에서 제공하는 LFA를 이용하여 이온 온도를 계산할 수 있습니다.

LFA는 입자들의 local velocity distribution이 local electric field와 같이 안정된다고 가정합니다. 따라서 이온 온도와 ion mobility와 같은 값들은 (간략화된)전기장의 항으로 표현됩니다. LFA는 전기장의 지역적 변화가 평균 자유 행로보다 작아야 합니다. 하지만 boundary layer에서 항상 맞지는 않습니다.

간략화된 전자기장의 함수와 같이 간략히 표현된 전자 이동도에 대한 식은 “Two-fluid modelling of an abnormal low-pressure glow discharge”에서 찾을 수 있고, 이를 다음 ICP 예제에 적용하면 다음과 같습니다.

57_blog_13

 

유도 결합형 플라즈마 예제

ICP모델에서 이온 온도 선택에 따른 영향을 살펴보기 위해, 예제를 살펴 보도록 하겠습니다.

ICP 반응기에서 이온 온도에 따라서 세 차례 해석을 수행했습니다. ICP는 특히 낮은 압력에서 동작하기 때문에 이온 온도 선택에 특히 주의해야 합니다.

이온 온도는 다음과 같이 설정했습니다:

  • Model1에서는 기체 온도와 같이 300 K로 설정.
  • Model2에서는 일반적으로 문헌에서 나오는 0.1 eV (1160 K)로 설정.
  • Model3에서는 LFA로 계산된 57_blog_15로 설정.

모델의 다른 파라미터들은 다음과 같습니다:

Model Parameters
Gas Temperature 300 K
Coil Power 500 W
Pressure 0.02 torr
Electron Mobility 4E24 (1/(m*V*s))

57_blog_15으로부터 계산된 평균 이온 온도는 0.22 eV (2515 K)입니다.
다음의 그림은 0.001 s 이후에 전자 밀도를 나타냅니다.

57_blog_17

Model 1: Electron density (T_ion = 300 K)

 
57_blog_18

Model 2: Electron density (T_ion = 0.1 eV)

57_blog_19

Model 3: Electron density (T_ion from LFA)

위의 결과와 같이, 이온 온도가 높을수록 전자 밀도가 높습니다.

아래 테이블에는 해석 결과를 비교하였습니다.

Max. Electron Density [1/m³] Max. Electron Temperature [eV] Resistive Losses [W]
1. 57_blog_21 4.3E17 4.1 387
2. 57_blog_22 2.6E18 2.8 407
3. Local Field Approximation 3.3E18 2.3 41

테이블에 의하면, 우리는 이온 온도가 증가하면 전자 밀도를 확연히 증가시킬 뿐만 아니라 흡수되는 파워도 증가시킨다는 것을 알 수 있습니다. 또한 전자 온도는 두드러지게 감소합니다.

이온 온도 선택의 중요성을 위의 예제 해석 결과를 통해서 설명하였습니다.

약형(Weak Form) 소개

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이번 블로그는 유한요소법과 벡터 계산에 익숙하지는 않으나, 물리적 직관과 기본 계산에 도움이 되고자 약형(weak form)을 배우는데 관심을 가지고 있는 대상자를 위해 소개하는 글입니다.

 

약형에 대해서…

COMSOL Multiphysics로 해석을 수행하는 다양한 물리 현상에 대해, 약형이 수학적 모델을 구성하는 이면에서 사용되고 있습니다. 약형을 이해함으로써 COMSOL 소프트웨어가 내부적으로 어떻게 작동이 되는지 알 수 있고, 특정 물리현상에 관여한 선정의된 지배식이 없을 경우 직접 만들 수 있게 해 줍니다.

 

간단한 예제

구체적으로 열원이 없는 정상상태에서의 1차원 열전달 모델을 고려해 봅시다. 특히, 구간 1 ≤ x ≤ 5 에서의 위치 x에 따른 온도T 에 관심이 있다고 합시다. 모델을 단순화 하기 위해 열전도도는 1이라고 하겠습니다. x축의 양의 방향으로 열량

56_blog_01가 온도 56_blog_02구배로 주어집니다:

(1)  56_blog_03

(내부적으로 열원이 없는 상태에서) 열량 보존은 다음과 같이 됩니다.

(2)  56_blog_04

식(2)가 우리가 풀고자 하는 주요식입니다. 이 해는 해석 영역에서 온도 분포를 나타낼 것입니다. 이 형태의 식은 다른 형식으로 나타내어 질 수 있습니다. 예를 들어, 정전계(electrostatics)에서는 T대신 포텐셜을, q대신 전계로, 탄성 분야에서는 T대신 변위를, q대신 응력으로 나타낼 수 있습니다.

왜 COMSOL Multiphysics에서는 연동된 다중물리문제를 아주 쉽게 계산할 수 있을까요? 즉, 풀고자 하는 물리 현상이 무엇이든지 간에 식으로 구성되어져 있기에, 직관적으로 COMSOL 소프트웨어의 주요 알고리즘에 의해 이산화와 해석이 수행됩니다.

몇몇 독자들은 단순한 수식으로 이론적인 값을 쉽게 구할 수 있는 아주 단순한 예제를 취급하느냐고 의문을 가질 것입니다. 그 이유는 2가지로 나눌 수 있습니다:

1.약형에 대한 중심 내용에 집중하기를 원하는 것이지, 복잡한 물리 현상에 대한 수식으로 인해 논점에서 벗어나지 않기를 원하는 것입니다.

2.다음 블로그에서 경계 조건을 통해 두 식간의 연동을 보여주는 하나 이상의 도메인 예제를 살펴 볼 것입니다. 지금 복잡한 예제를 다루는 것은 점차 예제 내용이 확장됨에 따라 중심 내용을 애매모호하게 할 것입니다.

 

약형 공식화

식(2)는 열량q에 대해서는 일차 미분, 온도T 에 대해서는 2차 미분으로 나타나고 있으며, 이는 온도 분포를 식별하는데 제한되어 있는 실제 환경에서 수치적인 이슈가 되고 있습니다. 예를 들어, 열전도도가 다른 인접한 물질 경계에서 수치적으로 온도T의 일차 미분은 불연속이고, T의 이차 미분은 구할 수 없습니다. 약형의 주요 관점은 미분식을 적분식으로 변환하여 미분을 계산하고자 할 때 수치적 알고리즘 부하를 줄이는 것입니다.

미분식(2)를 적분식으로 변환하기 위해, 첫 번째로 할 작업은 전체 영역1 ≤ x ≤ 5 에 대해 전체 식을 적분합니다:

56_blog_05

이는 56_blog_07의 평균값이 0이 되도록 하는 것입니다. 실은 1 ≤ x ≤ 5 전체 구간에서 56_blog_07이 0이 되어야 한다는 원 미분식과 비교하였을 때, “너무 빈약한” 것처럼 보입니다. 이를 개선하기 위해서 좁은 구간에서 56_blog_07의 평균값이 0이 되도록 처리할 수 있습니다:

56_blog_05

이 적분항은 x=3.5 근처에서 56_blog_07 의 값을 나타냅니다. 그래서, 위의 관계식은 0에 근접한 값을 갖습니다: 56_blog_08. 전체 도메인1 ≤ x ≤ 5 에 대해서 똑 같은 방식을 적용하면 원 미분식은 다음과 같은 적분조합으로 표현할 수 있습니다:

(3)  56_blog_09

적분식이 많으면 많을수록 근사치는 점점 좋아질 것입니다. 무한개의 적분식으로 원미분식을 나타낼 수 있을 것입니다. 모든 적분식을 표현한다면 다루기 어렵거나 불가능할지도 모릅니다. 하지만, 다른 방법으로 이를 적용할 수 있습니다.

주 요점은 좁은 구간에서 56_blog_07값을 표본으로 구합니다. 이 작업은 식(3)처럼 좁은 구간에서의 적분을 취하면 됩니다. 표본과 같은 종류는 아래 그림과 같이 좁은 구간에서 값이 존재하는 가중함수(weight function) 56_blog_10을 피적분함수와 곱해서 구해질 수 있습니다:

56_blog_11

그 다음, 다수의 가중함수 56_blog_10에 대해 전체 영역1 ≤ x ≤ 5 에서 곱 값인 56_blog_12을 적분할 수 있습니다. 각각의 가중함수는 피적분함수 부여를 각각 다른 x값 주변 구간의 중심을 토대로 좁은 범위 내로 제한합니다. 그리고, 식(3)에서의 적분식 조합과 같은 똑 같은 효과를 이룰 수 있습니다. 위에서 언급한 내용으로 관계식(식(4))를 표명하는 약형 공식화가 이루어지게 됩니다.

(4) 56_blog_05

식(4)는 일명 시험함수(test functions)라고 불리는 가중함수 56_blog_10를 항상 갖추고 있어야 합니다. 모든 56_blog_14값에 대해, 예를 들어x=3.5이라고 한다면, x=3.5주변 구간의 중심에 근소한 가중함수가 되는 시험함수 56_blog_10를 선택할 수 있습니다. 시험함수를 식(4)에 기입하여 x=3.5 주변 구간에서의 56_blog_07값을 견본으로 하고, 이 값은 0에 가까운 값을 가지게 됩니다: 56_blog_08.
시험함수로서 다수의 근소한 가중함수를 식(4)에 적용함으로써, 구간 1 ≤ x ≤ 5 에서 각각의 가중함수는 서로 다른 위치에서의 중심부에 있고, 56_blog_07값은 모든 영역에서 0에 종속시킵니다.
주석: 위의 그림에서 의도적으로 56_blog_07을 식의 최종 해가 아니라 임의의 곡선으로 그렸습니다. 아직 해를 찾지 못했다는 것을 강조하기 위해서입니다. 뒤에 해를 찾는 과정에서 임의의 곡선은 최종 해의 형상에 맞추어지기 위해서 시험함수로 인해 곡선의 변화가 있을 것입니다.

 

미분에서의 차수 낮추기

식(4)에서의 피적분 미분 차수가 여전히 식(2)와 똑같다(여하튼 똑 같은 56_blog_07이니까)는 것을 눈여겨 볼 필요가 있지만, 부분적분을 이용하여 차수를 낮출 수 있습니다:

(5)  56_blog_15

식에는 열량q나 온도T에 대한 미분이 존재하지 않고, 미분 차수는 2차에서 1차로 낮추어졌습니다. 식에 나타나 있는 시험함수 의 1차미분은 무엇일까요?
방금 전에서 보았듯이, 시험함수는 56_blog_10식에서 해를 찾는데 도움을 주는 도구입니다. 그래서, 편리하게 미분형태를 선택할 수 있는 자유를 보장합니다.

 

자유 경계 조건

식(5)의 앞의 두 항은 열량이 x축 양의 방향으로 들어오는 조건에서 x=1과x=5 경계에서의 열량과 시험함수와 관련이 있습니다. 이 두 항에 대해서 열량이 영역 바깥 방향으로 나가게 하고, 우변으로 옮기면 식(6)이 됩니다:

(6)  56_blog_16

Here, 56_blog_17는 외부로 나가는 열량, 1, 2는 각각 x=1와x=5에서의 경계를 나타내며, 아래와 같습니다.

56_blog_18

또한, 온도T와 시험함수 56_blog_24로 된 피적분함수를 쓰기 위해 식(1)에서의 열량을 사용하였습니다. 식 우변은 열량관점에서의 경계조건을 부여하기 위한 자연스러운 형태입니다. 절연 경계 조건(경계에서의 열량 출입이 없는 조건)은 56_blog_1956_blog_20 을 0으로 처리하면 됩니다.

이것은 COMSOL Multiphysics에서 열전달의 기본경계조건이 “Thermal Insulation”, 구조에서는 “Free (경계 하중 없는 조건)”, 유체에서는 “Wall (경계를 통한 유출입이 없는 조건)”이 되는 이유가 되는 것입니다. (풀고자 하는 변수의 일차 미분인) 플럭스 또는 힘을 나타내는 이러한 종류의 경계 조건을 통상적으로 자유경계조건(natural boundary condition) 또는 노이먼경계조건(Neumann boundary condition)이라고 합니다.

 

고정 경계 조건

일명 고정경계조건(fixed boundary condition) 또는 디리클레경계조건(Dirichlet boundary condition) 이라고 하는 또 다른 경계 조건은 풀고자 하는 변수 값을 명확히 하는 것입니다. 현 예로는 경계에서 온도 값을 나타내는 것입니다. 이러한 종류의 경계 조건은 단일 해를 갖는 우량조건(well-posed)문제 설정 시 필요합니다. 예를 들어, 유체에서 해석 영역 어딘가에 압력(단지 유속이 아닌)을 지정해야 하며, 구조에서는 변위(힘이 아닌)를 지정해야 합니다.

예제에서 봤듯이, 약형 형태는 경계에서 열량을 지정하기 위한 자연스러운 방법을 제공하고 있습니다. 그렇다면, 경계에서 고정 온도를 지정하려면 어떻게 해야 할까요?

이 방법은 자유경계조건의 수학적 구조를 활용하여 시험함수를 사용하는 똑 같은 방식을 도입해 해를 단속하는 것입니다. 개념적으로는, 경계지점에서 지정된 온도를 유지하기 위해 경계 외부에서 들어오는 열량은 경계 내부의 열량으로 상쇄됩니다. 약형 형태는 이 문제를 다음과 같이 취합니다: 경계점에서의 온도를 고정하기 위해 필요한 열량을 찾는 것입니다.

예를 들어, x=1에서 외부로 나가는 열량 56_blog_17을 2라고 하고, x=5에서는 온도T를 9라고 하고, 새로운 미지수 56_blog_2156_blog_22시험함수 을 도입하여 식(6)에 적용하면 식(7)이 됩니다:

(7)  56_blog_23

여기서 우변의 첫 번째 항은 x=1에서 2만큼 외부로 열량이 빠져나가는 것을 나타내고, 두 번째 항은 x=5에서 미지 열량을 나타냅니다. 두 항 모두 식(6) 우변에 있는 자연경계조건에서 바로 불러온 것입니다.

새로운 변수 56_blog_21는 경계 x=5에서의 미지 열량을 나타냅니다. 세 번째 항은 위에서 언급한 시험함수 56_blog_10에 대해서 똑 같은 방식으로 시험함수 56_blog_22를 이용하여 x=5에서의 해가 T=9가 되게끔 강제적으로 추가한 식입니다.

 

고차원에서의 의견

지금까지 단순한 1차원 예제를 통해 살펴보았습니다. 2차원 표면, 3차원 부피와 같은 고차원에서는 식이 더욱 복잡하나 기본 개념은 똑같습니다.

약형 형태는 미분식을 적분식으로 전환하고, 수치적 향상을 위해 부분 적분을 이용하여 미분차수를 줄입니다. 그리고, 경계에서 플럭스를 나타내는 자유경계조건을 생성합니다. 1차원 예제에서 경계는 양 끝점에 있고, 각 점에서 플럭스는 하나의 값을 가지고 있습니다.

2차원과 3차원에서의 경계는 각각 영역을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선과 닫힌 면입니다. 식(6)의 우변은 유입 플럭스 밀도, 즉 총 유입 플럭스의 선 또는 표면 적분이 되며, 모델링 영역의 경계에서 선 또는 표면 적분을 구하기 위해서 발산정리(divergence theorem)을 이용해 2차원과 3차원에서의 부분적분과정이 이루어 집니다.

이 블로그에서는 수치적 복잡함으로 인해 주요 개념을 벗어나지 않기 위해 간단한 1차원 예제를 선택하였습니다.

 

요점 및 다음 단계

해를 제한하기 위한 시험함수를 사용하는 약형 형태의 개념을 익혔습니다. 약형을 부분 적분함으로써 미분차수를 낮추어 수치적 혜택을 받았습니다. 일명 자유경계조건 또는 노이먼경계조건이라고 하는 (풀고자 하는 변수의 일차 미분인) 플럭스나 힘 항으로 경계 조건을 정하는데 자연스러운 방법이 제공되었습니다.

실제 문제를 풀 때, 미분 형태가 아닌 풀고자 하는 변수, 이른바 고정경계조건 또는 디리클레경계조건을 수립할 필요가 종종 있습니다. 고정경계조건에 대한 추가 항을 구성하기 위해 약형 형태는 똑 같은 시험함수와 자유경계조건을 사용하는 것을 살펴보았습니다.

지금까지, 수치 근사 없이 이론 값을 토대로 식을 다루었습니다. 다음 번에는 COMSOL Multiphysics에서 약형 식(7)에 대해 수치적으로 다루어 볼 것이며, 내부적으로 수치 근사가 어떻게 이루어지고, 여러 방법으로 똑 같은 모델이 어떻게 풀려지는지 살펴볼 것입니다. 또한, 다양한 경계 조건이 다양한 문제에 어떻게 설정이 되는지도 볼 것입니다.

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[EVENT] 당첨자발표_COMSOL Multiphysics 가이드북 Ⅰ(개정판) 서적 출판

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안녕하세요. 알트소프트입니다.

COMSOL 입문자을 위한 기능 설명 편 COMSOL Multiphysics 가이드북 Ⅰ(개정판)서적이 출판 되었습니다.

COMSOL Multiphysics 제품에 관심 있으신 모든 분들에게 반가운 소식이길 바라며,

이에 기쁜 마음으로  서적 선물 증정 이벤트를 준비하였습니다.

이벤트에 참여하시고, 서적 선물 받으세요. ^ ^

당첨자명단

김지원, 하도경, 정규진, 임정은, 이종훈, 이민재, 김승원, 권재협, 이예림, 오규환

이벤트 당첨을 축하드립니다. 당첨 되신 총 10분께 COMSOL Multiphysics 가이드북 Ⅰ개정판 서적을 보내드리겠습니다.

아래 당첨자 정보를 입력하여 전송 해 주시면 원하시는 배송 주소로 발송 해 드리도록 하겠습니다.

이벤트에 참여해 주신 모든 분들께 감사드립니다.

*2015년 3월 기본교육 부터 COMSOL Multiphyics 가이드북 1 개정판으로 교재가 지급됩니다.
COMSOL Multiphysics소개부분과 실습예제에 관련된 부분은 변경 없이 동일하며 새로운 제품군에 대한 내용이 추가되었습니다. 기존 가이드북으로도 기본교육을 이해하시는 데에는 큰 지장이 없음을 알려드립니다.

감사합니다.

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일자 COMSOL Multiphysics 가이드북 Ⅰ 개정판 이벤트 당첨자 확인

연락 가능한 번호를 남겨 주세요.

*당첨된 서적을 받으실 주소를 입력 해 주세요.

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해석을 통한 항공기 엔진 소음 분석

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항공기 엔진 소음 저감은 오랫동안 항공기 산업에서 선행과제였습니다. 물론, 소음방사를 최소화하기 위해서는 엔진소음에 대한 이해가 필요합니다. 이 작업은 항공기 시스템과 형상의 복잡성에 기인하여 매우 도전적인 일이 되었습니다. 공력을 고려한 항공기 엔진 덕트 모델을 통해, 우리는 음향과 관련하여 보다 심도 있는 관찰력을 제공합니다.

 

이러한 음향과 관련 있는 것은 어떤 것이 있나?

공항에 가거나 단순히 그곳을 지나치다 보면, 비행기가 이륙하기 위해 고개를 들고 있는 것을 쉽게 관찰할 수 있습니다. 이는 비행기가 지면에서 낮게 이륙하는 신기한 장면으로 종종 다가오지만, 마음을 사로잡는 또 다른 면은 비행기가 만들어 내는 소음입니다. 이러한 경험이 단지 짧은 시간 동안 지속되는 것은 상관없으나, 한 편으로 하루 종일 주기적으로 발생하는 소음을 듣는 공항 주변의 거주자들을 상상해 보십시오. 이러한 관점에서, 항공기 소음이 왜 우려의 관심 분야가 되었는지 쉽게 알 수 있습니다.

1960년대에 공공연한 문제로 대두된 이래로, 새로운 규정과 연구로 인해 보다 조용한 항공기의 개발이 대두되었습니다. 이러한 움직임 하에서 증명된 성공적인 설계가 high-bypass turbofan engine입니다. 대부분 항공기에서 채용하고 있는 이러한 엔진의 특징은 팬이 흡기를 포획한다는 것입니다. 공기가 팬을 통과하면서, 영역이 연소 챔버로 들어가고, 반면에 나머지는 엔진을 관통합니다. 모든 공기가 개스 제너레이터를 관통하는 터보젯과 비교하여, 터보팬 엔진은 항공기 엔진 소음을 줄이고, 보다 낮은 속도에서 보다 큰 항력을 제공합니다.

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CFM56 터보팬 엔진(“CFM56 P1220759” by David Monniaux — Own work.
Licensed under Creative Commons Attribution Share-Alike 3.0, via Wikimedia Commons).

이러한 개선된 엔진 기술로, 다음 단계에서는 설계 최적화를 구현하고자 하는 노력으로 터보 엔진의 음향영역을 분석하게 되었습니다. 이러한 사유로 우리는 해석으로 방향을 돌릴 수 있게 되었습니다.

 

항공기 엔진 소음 모델링

항공기 엔진 소음을 분석하기 위해, 우리는 COMSOL Multiphysics에서 Flow Duct model을 사용할 수 있습니다. 이 모델의 특징은 터보팬 내에 덕트가 축대칭 형상이라는 것입니다. 이는 CFM56 series의 입구(여객기에서 통상적으로 사용되고 있는)를 단순화한 모델입니다. 이는 압축성, 점성이 없으며, 일정한 엔트로피를 갖는 유체라고 가정하였습니다. 음장은 선형 포텐셜 유동 지배방정식을 사용하여 후방유체의 상부에 섭동을 모델링 하였습니다. 이러한 방정식을 사용함으로써, 압력과 속도장은 직접적으로 연관이 있으며 소위 속도포텐셜(velocity field)이라 불리는 값에서 유래된 것입니다.

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덕트 형상

이 모델에서, z = 0는 소스면(source plane)이 되며 실제 엔진 형상에서 팬의 위치를 나타냅니다. 음원(noise source)은 이 경계면에서 정의됩니다. z = L은 엔진힘이 발생하는 지점으로 입구면(inlet plane)으로 알려져 있습니다. 변수 R1, R2는 스피너와 덕트벽 구배를 나타냅니다.

여기서, 우리는 압축성 비회전 흐름의 유무에 따른 경우를 모델링 합니다. 이에 맞추어 마하수는 M = -0.5 (마이너스 z-방향 흐름), M = 0 (흐름이 없는 경우)입니다. 이러한 해석은 딱딱한 주름진 벽이 있는 덕트를 사용한 것과 비교할 수 있습니다.

 

The Results

모델은 우선 정지상태로 가정한 배경흐름(background flow) 해석을 합니다. 그리고 나서, 적절한 음원(주어진 누적 고유모드)이 유도됩니다. 마지막으로 음장(acoustic field)을 해석합니다.

평균 배경흐름(M = -0.5)인 경우, 속도포텐셜은 통로면 외부에서 일정(아래 결과 그림에서 등고선 참조)한 것을 알 수 있습니다. 더욱이, 평균 밀도값(공기의 압축성에 기인한)에서 오차는 스피너의 끝단과 같이 덕트 형상의 비균일 영역과 많은 연관성이 있습니다. 이러한 오차가 아래 그림에서 빨간색과 파란색으로 강조되었습니다.

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plane M = -0.5인 소스면에 대한 평균유동장의 결과. 색깔을 나타내는 면들은 배경흐름의 밀도와 상관이 있으며 속도포텐셜을 나타낸 것입니다.

이러한 결과를 통해, 음원에서 음장에 대한 고유모드를 계산할 수 있습니다. 아래 그래프는 M = -0.5, M = 0인 경우에 소스면에서 최초 축방향 경계모드에 대한 속도-포텐셜 구배 결과를 나타냅니다.

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그래프는 기저모드에 대한 속도-포텐셜 구배 결과를 나타냅니다.

배경흐름과 소스를 이용하여, 음장이 계산됩니다. 결과(아래그림 참조)는 Rienstra and Eversman(2001)에서 수행한 유사한 형상 시스템 결과와 비교할 수 있습니다.

배경흐름이 없는 경우, 음압분포가 논문에서 나온 해석결과와 비교할 때 잘 일치함을 알 수 있습니다. 하드월(hard wall)로 가정한 경우의 결과인 평균흐름은 다른 해석결과와 잘 대응됩니다. 그러나, 주름진 벽면의 경우, 몇 가지 눈에 띠는 차이를 보이는데, 특히 소스면 근방에서 확연히 차이를 보입니다. 이러한 차이는 음원 정의를 함에 있어서의 차이로 설명할 수 있습니다. 이 모델에서, 소스모드는 하드덕트월 경우에서 유래된 것이며, 비교하고자 하는 해석결과는 음향 주름을 채택한 음원을 사용하였습니다.

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평균흐름(M = 0)이 없는 경우에 하드월(위)과 주름(아래)이 있는 덕트월에 대한 음장에서의 압력분포.

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평균흐름(M = -0.5)이 있는 경우에 하드월(위)과 주름(아래)이 있는 덕트월에 대한 음장에서의 압력분포

여기에서 나타낸 모델은 매우 개념적이나, 보다 복잡한 상황으로 확장할 수 있습니다. 이러한 시스템을 모델링 하여, 임의의 엔진 덕트 형상과 소음방사를 줄이기 위해 주름진 형상을 최적화 할 수 있습니다.

 

Further Reading

압전체 : 표준의 이해

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표준은 복잡한 정보를 주고받기 위해 통용되는 의사소통을 엔지니어에게 제공함으로써 업무수행을 돕는 통합적인 부분을 형성합니다. 그러나 표준은 만능이 아니며 때때로 개정된 표준은 일반적으로 채택할 수 없습니다. 이는 압전체 특히 석영재질(quartz)에 대해 더욱 그렇습니다. 여기에서는 문헌에 있는 압전현상을 기술하기 위해 사용되는 복수 표준을 설명하고자 합니다. 이 글이 특별히 석영재질에 초점을 두고 있음에도 표준들은 임의의 압전체에 적용되는 것에 대해 기술하고 있습니다.

 

압전재질

압전재질은 변형이 일어나면 전기적으로 극성을 띄게 됩니다. 미시적인 관점에서, 결정 단위 셀 내(구조체 내에 변형이 있을 때) 대전된 원자의 변위는 매개체 내에서 전기적 쌍극자(electric dipole)를 생성하며, 이는 평균 거시적 쌍극 움직임과 결합하여 전기적인 극성과 상호작용을 나타냅니다. 직접압전효과(direct piezoelectric effect)라 불리는 이러한 현상은 항시 역압전효과(inverse piezoelectric effect) 현상을 동반하는데, 구조체는 전기장에서 변형이 발생합니다.

몇몇 재질의 물성은 압전효과의 특성을 완벽하게 표현하기 위해 정의되어야 합니다. 재질의 극성과 변형 간의 관계는 변형률-대전, 응력-대전과 같은 두 가지 방법으로 정의될 수 있습니다. 상이한 재질 물성은 각각 그에 맞는 고유한 지배방정식 형태를 요구합니다.

이러한 복잡한 현상을 좀 더 언급하자면, 문헌에서 사용된 두 가지 표준이 있는데 IEEE 1978 Standard, IRE 1949 standard 이며, 재질 물성은 두 가지 표준 내에서 상이한 형태로 나타나지만, 이 표준의 버전은 몇 가지 오류를 내포하고 있어서 결국 철회되었습니다.

오늘 이 블로그는 석영재질과 같은 특수한 경우에 초점을 두고 상이한 지배방정식 형태와 표준을 상세하게 기술할 예정인데- 이러한 재질은 대부분 혼란을 야기합니다. 학계 및 산업계 양쪽 모두, 석영재질의 물성은 통상적으로 1949 IRE standard에서 정의됩니다. 한편으로는, 그 이외의 재질은 현재 1978 IEEE standard를 사용하여 대부분 정의됩니다. 설상가상으로, 재질 물성을 정의할 때 채용된 표준은 일반적이지 않음을 예시합니다.

 

두 가지 방정식 유형: Strain-Charge와 Stress-Charge

기계적 성질 및 전기적 성질 간의 조합은 일정 응력 하에서 재질의 응력과 유전률 간의 상관관계 형태로 표현하거나 일정 변형 하에서 재질의 변형률과 유전률 간의 상관관계 형태로 표현될 수 있습니다. 이 두 가지 유형은 아래와 같습니다.

Strain-Charge Form

Strain-charge 유형은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다:

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여기서 S는 변형률, T는 응력, E는 전기장, D는 전기적 변위장 입니다. 물성 매개변수 sEd, εrT 는 일정 응력 하에서의 컴플라이언스(compliance), 연계물성(coupling properties), 상대유전률이며, ε0는 자유공간에서의 유전률입니다. 이러한 물리량은 4,3,2열의 텐서로 나타냅니다. 그러나 텐서는 물리적으로 대칭입니다. 이것은 축약하여 행렬형태로 표현할 수 있는데, 이러한 표현이 보다 편리합니다. 문헌에는, Voigt notation이 거의 대부분 통용됩니다.

이러한 표기방식(notation) 내에서, 두 가지 방정식이 아래와 같이 표기될 수 있습니다:

Stress-Charge Form

Stress-charge 형태는 아래와 같습니다:

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재질의 매개변수인 cE, e, εrS는 일정 변형률 하에서 재질의 강성, 연개물성(coupling properties), 상대유전률에 해당하며, . ε0는 자유공간 상에서의 유전률을 나타냅니다. 반복해서 언급하자면, 이러한 물리량은 4,3,2열 텐서이지만, 축약한 표기를 사용하여 표현할 수 있습니다.

Voigt 표기를 사용하여 아래와 같이 성분들을 표기합니다:

상기 방정식에서 정의한 행렬은 압전 재질을 정의할 때 사용하는 핵심 물성입니다. 수 많은 재질에 대해 주목한 점은, 행렬에서 몇몇 성분은 0이며 결정 구조의 대칭성의 결과로서 그 이외의 다른 성분들이 연관이 있습니다.

the international notation for describing crystal symmetry을 사용하여, 석영 재질의 대칭성분은 32개 삼각형 성분들입니다. 0이 아닌 행렬성분들은 상이한 표준 내에서 상이한 값들을 가지는데, 이것은 해석을 위해 물성값 입력 시 혼돈을 야기할 수 있으며, 특히 석영에 있어서는 더더욱 혼란을 야기하므로 이 두 가지 표준이 통상적으로 채택됩니다.

마지막으로, 석영 재질의 경우 또 다른 적용표준이 있습니다. 석영 결정구조는 수직축에 평행한 대칭평면을 가지고 있지 않습니다. 상대적으로, 이들은 두 가지 형태로 나타납니다: 왼손 혹은 오른손 법칙(거울상으로 이성질체)가 그것입니다. 이러한 이성질체(enantiomorphism)는 물성 재질 행렬에서 특이 성분에 대한 상이한 표기의 형태를 갖습니다.

재질 물성 행렬은 석영 재질을 표현하는데 적합하며, 다른 32개 삼각형상 재질은 아래와 같습니다. 주목할 점은 행렬 상에서 성분들 간의 대칭조건은 표준 사용과 상관이 없으며, 재질이 오른손 혹은 왼손 어느 법칙을 따르던 간에 연관성이 없습니다.

 

표준: 1949 IRE와 1978 IEEE

직교좌표계에서 상이한 응력 혹은 변형률 성분을 나타내는 행렬에서 재질의 물성 정의와 함께, 재질의 물성 표기 시 사용할 영구 좌표계를 정의하는 것이 필요합니다.

상대적으로, 모든 표준들은 상대적인 결정 등급들 각각에 대해 영구 좌표를 정의합니다. 불행히도 특수한 석영에 있어서, 후속 표준들은 동일좌표계를 사용하지 않으며 최근 표준 채택이 보편화되지는 않았습니다. 그러므로, 주어진 재질의 물성을 정의되는 표준을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.

두 가지 관련 표준들이 있는데, 아래와 같습니다:

  • IEEE 1978 standard:
    많은 문헌에서 석영 재질보다는 재질 물성에 대해 일반적으로 채택되는 표준입니다. 때때로, 석영 재질의 물성을 명시하는데 사용되며, 예를 들어 B. A. Auld 문헌 Acoustic Fields and Waves in Solids 에서는 이 표준을 채택 하였습니다.
  • IRE 1949 standard:
    이 표준은 문헌에서 석영 재질의 물성에 종종 사용됩니다.

결정 구조와 함께 좌표계 회전은 결정 단위 셀에서 원자에 대한 회전(실제로 유익하지는 않지만)을 명시하여 정의하거나 결정 형태(crystal foam)에 대해 회전을 명시하여 정의할 수 있습니다. 결정 형태는 대칭구조와 관련한 결정 면의 조합입니다. 특수한 형태가 암석에서 나타나는 것과 같이 결정 시편에서 종종 나타나며 상이한 광물을 정의하는데 사용됩니다.

Quartz Page는 일반적인 결정형태를 구별하는데 도움을 주는 형상을 취하고 있는데, 상응하는 평면의 Miller indices 을 구별하기 위해 r, s, x, z 및 further page로 표기합니다. 표준은 결정형태를 축에 대해 회전시켜 사용하기 때문에 이러한 접근방법은 아래의 그림과 같이 채용되는데, 1978/1949 표준과 관련한 좌표계를 나타내고 있습니다. 두 가지 왼손 혹은 오른손 법칙 석영 결정 명시 방법을 그림에서 나타내고 있습니다.

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결정학상의 축이 1978 IEEE standard(실선) 및 1949 standard(점선)으로 석영 재질에 대해 정의하였습니다.

상이한 결정축 결과로 인해, 오른손 그리고 왼손법칙을 따르는 석영 재질의 물성 표기는 특수한 표준 채택에 의거하여 변할 수 있습니다. 아래의 도표는 석영 재질 물성에서 나타날 수 있는 상이한 부호를 요약한 것입니다:

IRE
1949 Standard
IEEE
1978 Standard
Material
Property
Right-Handed
Quartz
Left-Handed
Quartz
Right-Handed
Quartz
Left-Handed
Quartz
 sE14  +  +    
 cE14      +  +
 d11    +  +  
 d14    +    +
 e11    +  +  
 e14  +    +  

 

결정단면에 대한 두 가지 정의

일반적으로, 석영과 같은 압전체는 임의의 각으로 절단한 얇은 웨이퍼에 사용됩니다. 압전 결정 단면의 회전은 1949 및 1978 표준에서 사용된 좌표계로 정의됩니다. 결정 축에 대해 단면 회전은 아래에서 묘사한 표기법을 사용하여 회전좌표계에 의해 명시합니다:

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결정의 GT 단면이 1978 standard에서 정의되는 방법을 보여주고 있습니다. 결정은 오른손 법칙 결정 정의방법입니다.

괄호에 있는 최초 두 개의 표기 문자는 결정으로부터 절단되는 면의 두께와 길이의 회전을 나타냅니다. 왼쪽 그림은 두께방향(t)이 Y축에 정렬되어 있으며, 길이방향(l)은 X축에 정렬하고 있음이 분명합니다. 판은 두께(w)를 갖는 3차원 형상입니다. 최초 두 개의 문자 다음에 나오는 회전분류는 판의 가장자리에 대해 정의됩니다.

위 예제에서, 최초 회전은 l축에 대해 -51° 회전한 것입니다. 부 방향 성분은 회전이 축에 대해 오른손 법칙에 따라 반대 방향으로 회전함을 의미 합니다. 마지막으로, t-축에 대한 -45°(오른손 법칙에 따라) 부가적 회전이 정의됩니다.

대부분 실제 단면은 하나 혹은 두 개의 회전계를 사용하지만, 임의의 판 회전에 대해 표준 내에서 세 개까지 회전좌표계 사용이 가능합니다.

결정상에서 축이 1949 및 1978표준에서 달리 정의되기 때문에, 결정 단면 정의는 다릅니다. 석영 판에 대한 일반적인 단면은 AT단면으로, 아래의 방법에 따라 두 가지 표준에 의거하여 정의됩니다:

Standard AT
Cut Definition
1949 IRE (YXl) 35.25°
1978 IEEE (YXl) -35.25°

아래 그림은 AT cut의 상이한 정의가 표준에서 채택한 두 개의 상이한 축 정의방법에서 어떻게 다른지를 보여주고 있습니다.

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석영의 AT cut은 IRE 1949 standard에서 (YXl) 35.25°회전으로, IEEE 1978 standard에서 (YXl) -35.25°으로 정의됩니다. 그림은 단면이 오른손 법칙에 의거하여 정의됨을 보여 줍니다. 표준들 간에 차이가 발생하는 이유는 결정 상의 축 회전이 상이한 관례를 따르기 때문입니다. IRE 1949 standard에서, 회전은 l-축(이 경우에는, X-축과 정렬되는)에 대해 정방향 혹은 오른손 법칙을 따르기 때문입니다. IEEE 1978 standard에서 상이한 축 정의로 인해, 회전은 이 표준에서 부 방향 각을 갖습니다.