측정에 의한 재질 물성데이타 확보 Part 2
//블로그 Part 1에서 해석 모델에 직접 측정 데이터를 입력하여 사용할 경우, 몇 가지 고려사항에 대해 토의하였습니다. 초탄성 재질(Hyperelastic materials)은 세부적으로 몇 가지 검토 사항이 있습니다. 오늘, 우리는 비선형 재질 혹은 탄소성(elastoplastic) 재질의 사용방법을 살펴보고 COMSOL Multiphysics에서 측정데이타를 직접 입력하는 방법을 소개하겠습니다.
비선형 탄성 재질(Nonlinear Elastic Materials)
어떤 재질은 작은 변형률(strain)에 대해 이미 뚜렷한 비선형성(nonlinearity)을 나타냅니다. 그러나 하중을 제거하면, 이들은 응력-변형률 경로를 따라 초기 상태로 되돌아 가므로, 응답(response)은 탄성(elastic)입니다. 이를 비선형 탄성 모델(nonlinear elastic model)이라 부릅니다.
이전 블로그에서, 우리는 초탄성 재질을 검토하였는데, 왜 구상흑연주철(nodular cast iron)이라 불리는 재질에 대해서 응력-변형률 측정 곡선에 부합하는 모델 중 하나를 사용하지 않을까요? 답은 초탄성 재질 모델이 대변형(large strain)에 잘 맞기 때문입니다. 고무 재질은 초기 형상 대비, 수 백 프로의 변형률을 가지고 있는 반면에, 일반 강(elastic metal)이나 취성(brittle)인 재질은 변형률이 1%이하입니다.
자주 사용되는 Mooney-Rivlin 모델은 당연히 작은 변형률에 대해 선형 특성을 나타내므로, 여기에서는 언급할 필요가 없습니다. Ogden모델은 응력이 신장 (stretch)하는 힘의 합으로 계산됩니다. 그러나 작은 변형률에 대해서는, 신장이 대략 0.999~1.001 범위에 있습니다. 뚜렷한 비선형성을 예측하기 위해, 지수는 매우 높아야 합니다. 이러한 방정식에 부합하는 안정적인 데이터는 실현 가능성이 낮습니다. 낮은 수준의 변형률은 취성 재질에서 나타나는데, 공칭변형률(engineering strain)은 변형에 대해 보다 실제 현상에 부합하는 표현입니다. 여러분은 “Why All These Stresses and Strains?에서 여러 가지 상이한 특성의 응력 및 변형률에 대해 보다 자세하게 알 수 있습니다.
이러한 상황에 대처하고자, COMSOL은 작은 변형률에 대한 비선형 탄성 모델을 제공합니다. 이러한 재질 모델은 Nonlinear Structural Material Module이나 Geomechanics Module이 필요하며 Solid Mechanics 혹은 Membrane 인터페이스에서 사용 가능합니다. 이제 이러한 재질을 사용하는 방법에 대해 설명하겠습니다.
COMSOL Multiphysics에서 제공하는 비선형 탄성 재질 설정 |
총 9가지 비선형 탄성 모델이 있습니다. 이들 중 몇몇은 몇 개의 매개변수에 의해 정의되는 단순 수학적 유형을 포함하고 있습니다. 임의의 모델은 실험적인 단축 응력-변형률 데이터를 다룰 때 특히 유용합니다. 이 모델은 측정 데이터에 근거한 해석을 위해 명백하게 의도된 것입니다. 이 모델을 위한 설정방법을 살펴봅시다:
단축 비선형 탄성 모델 설정 |
주된 입력은 단축변형률에 대한 단축 응력함수입니다. 이 예제에서, 측정 데이터는 stress_strain_curve라 불리는 보간 함수(interpolation function)로 주어지거나, 해석적 표현방법으로 주어질 수 있습니다. 보간 함수는 데이터 지점의 개수로 입력될 수 있으며, 혹은 파일에서 불러올 수 있습니다. 여기서, 불러오기는 Excel®에서 직접 불러올 수 있습니다. 이는 LiveLink™ for Excel®을 필요로 하지만, 테이블화된 텍스트 파일에서 데이터 읽기가 가능합니다.
불러온 단축 응력-변형률 곡선 |
그러나, 단축인장곡선(uniaxial)은 다축(multiaxial) 특성을 정의하는데 필요한 충분한 정보를 제공하지는 않습니다. 부가적인 가정이 필요한데, 프와송비(Poisson’s ratio)와 체적팽창계수(bulk modulus)값을 제공해야 하는 것입니다. 수 많은 재질들에 있어서, 0.2~0.3사이의 값을 갖는 프와송비는 훌륭한 근사값(approximation)을 제공할 것입니다. 이는 재질 모델의 정의를 완성하는데 필요합니다.
만일 여러분이 응력-변형률 곡선을 연구한다면, 여러분은 인장 및 압축이 상이함을 주지해야 합니다. 다축인장 응력이 작용할 경우, 특정 지점은 한 방향으로 인장을, 다른 부분은 압축 특성을 나타낼 것입니다. 그러므로 어떤 재질 곡선이 사용되어야 할까요? 재질 모델이 등방성(isotropic)이면, 모든 방향에서 동일한 강성을 나타내지만, 국소 체적변화가 음의 부호를 가지면, 압축이 사용되는 것으로 체적변화를 결정합니다.
이론
등방 비선형 탄성 재질(isotropic nonlinear elastic material)은 아래의 가정 하에 이론적으로 성립이 됩니다:
- 평균 응력(“압력”) 혹은 체적팽창계수(bulk modulus)는 체적 변형률만의 함수입니다.
- 전단응력(shear stress)이나 전단탄성계수(shear modulus)는 전단변형률만의 함수입니다.
만일 이러한 조건들을 만족하지 않는다면, 여러분은 perpetuum mobile이라는 에너지 추출을 이용해 응력-변형률 사이클(stress-strain cycle)을 고안할 수 있습니다.
COMSOL Multiphysics에 내장되어 있는 재질 모델은 이러한 조건들을 만족하도록 고안되었습니다. 만일 여러분이 이축인장 탄성 재질(Bilinear elastic material)의 설정을 검토한다면, 선형탄성계수(Young’s modulus)가 아닌 인장이나 압축 상태에서 이에 대한 체적팽창계수(bulk modulus)을 입력해야 합니다.
대부분의 구조해석은 탄성 재질에 대한 주요 매개변수로서 선형탄성계수와 프와송비를 이용하여 해석을 수행합니다. 그러나 상기 언급한 요구사항은 불행히도 선형 탄성계수가 변형률이나 기타 매개변수에 의존합니다.
- 이러한 독립성을 기술한 함수는 매우 특수한 형태를 포함할 수 있습니다.
- 프와송비는 변형률의 함수이어야 하며, 이는 매우 표현하기가 어려운 함수의 형태를 나타냅니다.
그렇다면, 상수인 프와송비를 갖는 상기의 단축 인장데이타를 어떻게 입력하면 될까요? 해답은 체적팽창계수와 전단탄성계수에 대해 허용 가능한 함수를 생성하는 것입니다. 그래프에서 직관적으로 유도할 수 있을 지 모르지만 선형탄성계수를 만들 수 있는 참고문헌은 없습니다.
이는, 해석자가 탄성재질 모델에서의 등방성이나 직교성에 대해 변형률 독립변수를 도입하는 부분에서 성공적인 모델을 확인할 수 있습니다. 실용적인 공학적 사용 측면에서는 작동에 문제가 없을 지 모릅니다. 우리는 Modeling Stress-Dependent Elasticity에서 응력 종속 탄성계수를 정의하는 방법을 소개하는 예제를 제공합니다. 이러한 접근방법에서 중요한 포인트는 구조가 주로 비례하중(proportional loading)이 적용되는 것으로 예측되어야 합니다.(주방향 변형률이 회전하지 않음)
인장 및 압축을 받는 상이한 선형 탄성계수값을 갖는 캔틸레버빔. 빔은 끝 에서 굽힘모멘트가 예상됩니다. 상부 그림은 von Mises stress를 나타내며, 아래 그림은 선형 탄성계수값을 나타냅니다. |
기 설정된 모델이나 직접 만든 모델을 이용하여 비선형 탄성 모델을 설정할 경우, 접선방향 강성(tangent stiffness)나 교차 강성(secant stiffness) 간에 명확한 구분을 하는 것이 중요합니다. 비선형 탄성 모델은 종종 선형 모델과 유사하게 표현하지만, 탄성계수(elastic constant)에서 응력 및 변형률 의존성을 가지고 있습니다(이는 더 이상 상수가 아닙니다.) 전단응력 가 전단변형률 와 관련이 있다고 가정하면,
전단탄성계수 는 교차 전단강성계수가 됩니다. 총 변형률은 교차 강성을 곱하면 됩니다. 접선방향 전단탄성계수 는, 다른 한편으로는, 아래 그림에서 묘사한 바와 같이 미소한 변형률 변화를 겪는 강성입니다.
수학적으로, 두 가지 탄성계수 간의 관계는 아래와 같습니다.
여러분이 측정한 데이터는 주로 아래의 형태로 나타냅니다.
이는 교차 강성이 실제로 아래와 같음을 의미합니다.
응력-변형률 곡선을 이와 같은 수식을 이용하여 교차강성 형태로 치환하면, 제로 변형률(zero strain)에서 제로-분할(zero-divide)이 가능하다는 점에 주목해야 합니다.
여러분은 또한, 임의의 재질이 임의의 승수 n으로 표현하는 지수법칙에 맞아야 한다는 점에 마주칩니다. 이는 아래 둘 중 하나임을 의미합니다.
혹은
COMSOL Multiphysics상에서 지수법칙은 반지수(semi-log) 형태의 그래프에서 응력-변형률 곡선 경사와 관련한 변형률 지수 n을 보다 일반적으로 정의 합니다.
비선형 탄성과 함께 근사화한 소성 특성
순수 인장 시험은 임의의 측정된 비선형성이 소성(plasticity)이나 기타 사항에 근거하여 나타난 것이라고 생각할 수 없습니다. 무부하 곡선 또한 고찰되어야 합니다. 이는 아래 동영상에서 보여주듯이, 이전 블로그에서 다루었습니다.
소성 해석을 위한 비선형 탄성 모델의 사용은 이전 블로그에서 다루었습니다.
단축 인장 시험 데이터 모델의 사용에 더하여, 특별히 Ramberg-Osgood 비선형 탄성 재질 모델이 탄성소성 모델을 표현하기 위해 사용되었습니다. 비선형 탄성 재질의 사용은 컴퓨터의 재원 사용이 획기적으로 줄어들지만, 아래와 같이 제한이 있습니다.
- 분명히, 단순 연속적인 하중 증가만이 허용됩니다.
- 만일, 열팽창과 함께 압력이 외력으로 작용하는 여러 가지 유형의 외력이 작용한다면, 항상 서로 비례하지는 않습니다. 이는 국소응력(local stress)이 비례하지 않는 원인이 됩니다.
- 세 방향으로의 응답 특성이 항상 동일하지 않습니다. 심지어 단축 응력-변형률 곡선이 비선형 탄성 모델에 대해 유일하고 완전 탄성소성 모델(full elastoplastic model)에서 조차도 동일한 현상이 발생합니다. Von Mises flow 법칙과 같은 구조 강의 소성에서, 소성 변형은 체적을 유지합니다. 이는 비선형 탄성 모델에 부합하는 현상이 아닙니다.
결론
적절한 재질을 선정하고자 할 때, 여러분은 전체 해석의 정확성을 검토해야 합니다. 공학적인 측면에서, 우리는 종종 완성되지 않은 정보를 통해 수행해 왔으며, 이러한 측면이 재질의 균질성과 실제 구조 형상의 크기 측면에서 불확실성의 부하로 가중될 것입니다. 여러분은 또한 경계조건 선정으로 근사화 시키고자 할 것입니다. 이는 해석결과의 질적 측면을 결정함에 있어서 가장 취약한 부분이며, 정확히 수학적인 기초에 근거한 모델과 일치하지 않을 수 있습니다.
이전 블로그에서, “단순 응력-변형률 값을 입력값으로 사용하는 것은 바람직한 생각이 아닙니다”라고 언급하였습니다.
그래서, 왜 나는 사고방식을 바꾸었을까요? 해답은 단축인장 데이터 모델을 이용하는 것이 사용 가능한 실제 측정 데이터라는 것입니다. 모든 초탄성 모델이나 비선형 탄성모델에 있어서, 측정 데이터는 매개변수를 사용한 수학적인 모델에 부합해야 한다는 것입니다. 이는 인간의 관리감독 없이는 안전하게 수행될 수 없는 곡선맞춤(fitting) 작업입니다.