유한요소 모델에서의 특이점: 응력집중 영역의 취급방법

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해석 모델은 때로 특이점(singularities)를 나타낼 수 있습니다. – 이는 해석 측면에서 무한대 값을 나타냄을 의미합니다. 이번 블로그에서는 일반적인 특이점 원인 제거 방법 및 모델에서 특이점 발생 시 결과를 분석하는 방법에 대해 고찰하고자 합니다. 대부분의 논의가 structural mechanics에서 이루어 지고 있지만, 동일한 현상이 다른 여러 분야에서도 발견됩니다.

 

문제점

구조해석 분야 컨설턴트 역할을 수행하면서, 사용자에게 유한요소모델에서 나타나는 터무니 없이 높은 응력 수준의 값을 보고할 때 문제점에 직면하곤 합니다. 해석 경험자의 경우 모델에서 높은 수준의 응력이 예상되는 지점을 인지하고 무시할 수 있습니다. 하지만, “응력 크기는 항복응력(yield stress)의 70% 수준을 넘을 수 있다”는 점을 언급할 경우, 이 점이 문제시 될 수 있습니다. 동일한 중요사항은 결과 확인 시 협소한 영역에서 높은 수준의 응력은 항상 무시될 수 있는 것은 아닙니다. 그러므로, 우리는 모델 결과를 분석하기 위한 적절한 기술이 있어야 합니다.

 

날카로운 코너가 있는 모델: 특이점의 전형적인 모델

날카롭게 오목한 코너 부위는 모든 편미분방정식(elliptic partial differential equations)에 대한 종속변수에 대해 특이점(singularity)이 발생할 것입니다. 구조해석에서, 이는 변형률에 해당하는 굽힘이 없음을 의미하는데 자유도(degree of freedom)가 변위이기 때문입니다. 재질에 대한 제한이 없다면, 응력은 이러한 경우에 무한한 값을 나타낼 수 있습니다.

아래 모델을 살펴봅시다. 이 모델은 2*1[m] 크기의 사각 평판 내부에 0.2[m]크기의 형상이 천공되어 있으며 순수 인장이 작용한다고 가정합니다:

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평판 좌측이 고정되어 있고 우측에 균일한 하중이 작용합니다.

천공된 부위 주변에 상이한 두 가지 요소로 생성된 모델을 통해, 유효 응력 수준은 완전히 다른 양상을 나타냅니다. 최대 응력은 조밀한 요소생성 모델 대비 두 배 수준을 나타내며, 응력 영역에서 상세한 표현이 생략되어 있습니다. 이는 물론 수동으로 응력 범위를 조정함으로써 이러한 현상을 방지할 수 있으나, 최초 육안 확인한 바로는 중요 사항이 나타나지 않았습니다.

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동일 지점에서 유효응력 수준. 두 개의 결과는 요소에 의존한 최대응력 수준에 의해 자동 스케일 조정으로 나타난 결과입니다.

사실, 코너부분에서 사용되는 요소는 크기가 작을수록 응력값은 상승함을 알 수 있습니다. 이러한 결과는 실제 응력값이 무한하게 커지는 방향으로 가는 경향이 있기 때문에 수렴하지 않을 것입니다.

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요소 크기에 따른 코너부에서의 응력값(x축 지수형태)

만일 우리가 천공 부위 근방을 검토한다면, 응력 수치가 매우 국부적임을 알 수 있습니다. 아래 그림에서, 응력은 천공 영역 0.05[m]에서 수직 방향으로 절단면을 따라 나타나는 응력 수치를 나타냅니다. 여기에서, 사실 응력은 두 가지 성분에 의해 코너 영역에서 응력 최대치가 변하더라도 변동이 없습니다.

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절단선에 따른 응력의 변화(빨간색으로 표시). 다섯 가지 상이한 크기의 요소가 사용되었습니다.

실제로, 완전히 뾰족한 코너를 형성하는 경우는 흔하지 않습니다. 그러므로, 여러분은 모든 필렛이 포함된 정확한 형상을 사용하는 것이 논쟁이 될 수 있는데, 이를 통해 특이점을 피할 수 있는 가능성이 있습니다. 사실, 이 경우는 제원이 함께 따릅니다. 만일, 매우 작은 상세 형상이 요소로 계산되어야 한다면, 모델은 상대적으로 어마어마하게 커질 것입니다(특히 3D인 경우). 완벽한 캐드 형상이 사용될 때, 해석 결과에 중요하지 않은 작은 세밀한 부위를 재구성(Defeature) 합니다. 그러므로 대부분의 경우에, 우리는 전처리 단계(preprocessing stage)에서 뾰족한 코너를 의도적으로 도입합니다.

그러나, 코너 형상을 도입할 경우, 몇 가지 문제점이 있습니다:

  • 비선형 재질의 경우, 특이점에서 연산 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 크리프 모델(creep model)에서 예상되는 변형률(strain rate)은 빈번하게 응력의 최대값에 비례하여 나타납니다. 5배까지 올라가는 특이점(요소에 의해 결정되는)에서 높은 수준의 응력은 변형률에서 높은 수준을 나타내어 수 개월 단위에서 나타나는 현상을 구현하고자 할 때 시간 구간(time stepping)이 밀리센컨드(milliseconds) 수준으로 설정해야 합니다. 만일 여러분이 뾰족한 코너 형상을 유지하고자 한다면, 이에 대한 대책은 작은 탄성 영역에서 특이점을 둘러싸는 것입니다.
  • 오류 예측을 위한 adaptive meshing은 실패할 수 있는데, 특이점이 나머지 해석 결과에 지배적으로 작용할 수 있기 때문입니다. 이러한 과정에서는 코너 영역을 배제하십시오.
  • 응력이 문제가 되는 영역을 포함한 모델에서의 최적화 구동 시, 특이점의 해석결과는 단순히 응력의 최대값 진폭을 줄이는 방향으로 최적화 될 수 있습니다. Multistudy Optimization of a Bracket tutorial예제에서, 브라켓이 볼트로 체결되는 영역은 최대 응력을 구하는 영역에서 배제됩니다.
  • 앞에서 언급한 바와 같이, 최대 응력값은 가시적으로나 혹은 심리적으로 해석에서 관심을 나타내는 특징을 모호하게 할 수 있습니다.

물리적으로, 코너 형상이 매우 뾰족하면, 재질은 높은 변형률 수준을 나타내며 손상이 갈 것입니다. 취성 재료는 균열(crack), 연성 재질은 항복(yield)이 예측 됩니다. 반면 경고음이 있을 때, 이러한 손상은 대부분 응력의 국부적 재분배를 야기할 것입니다. 주변 구조물의 관점에서 보면, 효과는 필렛 반경의 미세한 변경보다 더 큰 변화는 없습니다. 높은 수준의 국부적 응력은 하중이 주기적으로 작용하여 피로를 야기 시킬 경우에 실질적인 문제가 될 것입니다.

건축물에서, 창문이나 출입문이 뾰족한 코너를 가지는 사각형 형상을 하고 있는 것에 관심을 갖는 사람은 아무도 없습니다. 그러나, 비행기에서는 기내 압력과 외부 압력의 차이가 주기적인 하중 이력의 변화가 있기 때문에 동그란 형상을 합니다.

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왼쪽: 뾰족한 코너형상을 하고 있는 사각형 창문. Image by Jose Mario Pires. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons. 오른쪽: 곡선 형상의 창문. Image by Orin Zebest. Licensed under CC BY-SA 2.0 via Wikimedia Commons.

이는 많은 설계 기준 사례로 알 수 있는데, 높은 수준의 응력은 하중이 정적(static)인 경우에는 지속성이 있습니다. 코너부의 국부적 응력은 구조물의 하중을 버티는 능력에 영향을 미치지 않을 것입니다. 이러한 접근방법은 응력 영역을 구분하는 시스템에 의존합니다. 이러한 방법은, ASME Boiler & Pressure Vessel Code에 기술되어 있습니다.
주기적인 하중에 있어서, 다른 한편으로는 매우 정확한 응력값을 얻는 것이 중요합니다. 피로수명(fatigue life)은 응력의 진폭에 매우 밀접한 관련이 있습니다. 이 경우, 형상뿐 아니라 요소의 세밀함을 이용해 정확한 필렛 표현이 필수적입니다. 만일 모델이 너무 커서 운용이 어렵다면, 여러분은 submodeling을 이용할 수 있으며, 접근방법은 this blog post에 기술되어 있습니다.

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오른쪽에 있는 상세 submodel은 전체 형상 해석의 결과로 운용될 수 있습니다.

Tip: submodeling 기술에 대해 좀 더 알고자 한다면, Application Gallery에 있는 Submodeling Analysis of a Shaft tutorial 을 다운로드 하십시오.

 

점 하중(Point Loads)

포인트에 작용하는 하중은 국부적으로 무한 응력을 발생시킬 것입니다. 이는 탄성론(theory of elasticity)에서 classical Boussinesq-Cerruti problem 이라 하는데, 응력은 하중 작용점에서의 거리에 반비례하여 변합니다.
실제로, 포인트 하중은 존재하지 않습니다. 하중은 임의의 면적에서 분포하중으로 작용합니다. 유한요소 관점에서 보면, 이러한 문제는 작은 영역에 작용하는 문제를 해소하기 위한 노력의 일환으로 가치가 있습니다. 이 질문에 대한 해답은 Saint-Venant’s principle에 있으며, 하중작용 면적과 비교하여 통계적으로 등가 하중분포가 거리가 충분히 길 때 동일한 결과를 나타냅니다.

그러므로, 상세 결과가 언급한 거리 내에서 중요하지 않을 경우, 하중 작용 면적 크기의 세 배를 하며, 실제로 여러분이 최종 작용하중과 모멘트가 정확하다면 어느 정도 하중을 적용할 지는 중요하지 않습니다. 단순히 코너부의 특이점을 갖는 경우에 있어서는, 여러분은 특이점의 응력 효과를 회피할 필요가 있습니다. 주의할 점은 선에 따른 하중 적용은 무한대 응력을 야기하는 포인트 하중과 동일한 효과를 나타낼 것이라는 점입니다.

빔 요소나 쉘 요소에 수직하게 포인트 하중의 적용은 특이점을 유발하지 않는다는 점이 흥미롭습니다. 구조의 굽힘은 solid mechanics와 달리 상이한 지배방정식을 적용합니다. 그러나, 쉘 표면에 적용하는 포인트 하중은 특이점을 야기시킬 것입니다.

 

구속 조건(Constraints)

우리가 반력 적용 관점에서 구속조건을 생각한다면, 예를 들어 포인트에 구속 조건을 부여하는 것과 관련하여 동일한 결론을 이끌어 낼 수 있습니다. 아래의 대칭 문제를 가정해 봅시다. 여기서 우리는 평판의 한 쪽에 동일한 인장력(tensile load)이 작용하고 반대쪽은 롤러 조건(roller conditions)을 부여하였습니다.

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1/2 형상에 하중 및 구속조건을 부여한 사각 평판

응력 분포를 살펴보면, 이는 롤러 구속 조건의 끝이 하중이 작용하지 않아 급격한 변화를 나타내는 특이점 현상을 볼 수 있습니다. 일반적인 고찰은 구속조건의 끝은 뾰족한 코너와 유사한 효과를 나타냅니다.

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수평방향 응력분포

구조물을 지지하는 무한강성 환경(infinitely stiff environment)은 실제로 존재하지 않습니다. 해석은 아래와 같이 선택의 여지가 남아있습니다: 미세한 영역의 취약부분을 가지고 갈 것인지, 혹은 구조물 외부에 좀 더 주의를 기울여 고찰할 필요가 있는지의 여부입니다.

만일, 경계조건으로 야기되는 특이점이 타당하지 않다면, 여러분은 아래의 접근방법을 고려할 수 있습니다:

  • 구속조건에 의해 야기되는 특이점이 관심영역 밖으로 이동하도록 모델을 확장하십시오.
  • Spring Foundation 조건을 적용한 보다 유연한 구속조건을 사용하십시오.
  • 해석 영역을 확장하는 보다 단순한 방법을 제공하는 무한 요소(infinite elements)을 사용하십시오. this tutorial을 통해 이용 방법을 습득하십시오.

상기에서 언급한 것과 유사한 상황을 여러 가지 방법으로 전환(transitions)할 수 있음은 의심할 여지가 없습니다. 이러한 전환의 예제는 유연체 도메인(flexible domain)에 강체 도메인(rigid domain)과 연결하는 것입니다.

 

용접(Welds)

용접 해석 기술은 중요하고 복잡하여 이에 대한 자체 블로그 포스트에서 설명하겠습니다. 여기에서는 간단하게 다루도록 하겠습니다.

용접 구조물은 종종 얇은 박판들로 구성되어 있어서, 쉘(shell)모델링을 사용하는 것이 당연합니다. 아래의 모델을 살펴봅시다. 이 예제에서는, 응력 집중현상이 넓은 평판에 용접되어 있는 아주 작은 부위에 나타나는 것이 확인됩니다.

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쉘로 구성된 두 개의 평판이 용접되어 있을 때의 응력

형상과 하중은 형상 중심에 대해 대칭입니다. 모델의 요소생성은 용접부위의 끝을 매우 조밀하게 생성합니다. 용접라인을 따라 응력 분포는 양쪽 평판에서 동일하게 특이점을 나타내고 있습니다.

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특이점을 나타내는 응력 그래프

많은 용접 구조물-선박선체, 크레인, 그리고 트럭 구조물-에 있어서 피로현상(fatigue)은 중요한 문제입니다. 솔리드 모델을 이용한 모델링 과정의 재구성은 여기에서 답을 하기 어렵습니다. 국소 형상 및 용접 모델의 특성은 현실에 기반을 두거나 X-ray투과하지 않는 이상 적절하게 정의하기가 쉽지 않습니다. 국소 형상은 용접부위에 따라 달라질 것이며, 상대부품 간의 용접은 통상 일정해야 합니다.

용접을 해석할 때, 대부분 일반적인 접근 방법은 용접 라인이나 특정 거리가 떨어진 라인에 따라 응력이 평균값으로 적용된다고 가정하는 것입니다. COMSOL Multiphysics에서 절단선(cut lines)은 특히 이 때 유용합니다. 국소좌표계(local coordinate system)는 용접부위에서의 응력성분이 다르게 취급되도록 수평 수직 방향 성분으로 다룰 수 있습니다. 이러한 평균 응력은 핸드북에 있는 것과 비교되는데, 용접 양상이나 용접상태의 수에 따라 이용 가능합니다. 이에 대한 보다 많은 사항은 Eurocode 3: Design of steel structures — Part 1-9: Fatigue을 참조 바랍니다.

 

균열(Cracks)

형상 측면에서 특이점이 발생하는 최악의 경우는 균열에 의해 야기되는 것입니다. 균열은 180° 요각(re-entrant) 코너를 나타내는 지점에서 확인 가능한데, 코너에서의 특이점이 여기에서도 적용됩니다. 균열이 유한요소 모델에서 나타날 경우, 이는 전형적인 관심부위가 됩니다.

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변형 상에서 균열 팁(crack tip) 주위의 응력

균열 팁 주위의 응력은 해석으로 알 수 있으며, 적어도 임의의 가정 하에 선형 탄성 혹은 소성에 적용됩니다. 그러나 유한요소 해석을 통한 응력 계산은 특이점 때문에 도출하기 어려울 수 있습니다. 다행히, 균열 팁에서의 상세 사항을 연구할 필요는 없습니다. 응력집중성분(stress intensity factor)을 결정할 때, 여러분은 J-integral 혹은 energy release rate 방법을 이용할 수 있습니다. 이러한 접근 방법은 균열 팁에서 다소 동떨어진 전역적으로 나타나는 물리량의 사용이 가능하여 특이점에서 상세 사항의 중요도가 떨어집니다.

Tip: J-integral 사용법에 대한 보다 많은 정보를 원하면, Application Gallery에 있는 Single Edge Crack tutorial를 참조바랍니다.

 

결론

유한요소 모델에서 나타나는 특이점은 다양한 원인에 의해 나타납니다. 여러분이 결과 분석 및 임의의 결과를 회피하는 방법을 이해한다면, 특이점은 여러분의 모델에서는 문제 시 되지 않을 것입니다. 사실, 많은 실제 현장에서 사용하는 모델은 의도적인 특이점의 사용을 요합니다. 모델 사이즈 및 해석 시간의 감소는 특이점을 도입해야 하는 상황에서 자주 형상의 세밀함, 작용하중 그리고 경계조건의 단순화를 필요로 합니다.

변형된 솔리드에서의 열전달

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부동의 솔리드의 경우는 열전달 방정식을 계산하여 단순화하고 온도장(temperature field)에 매우 근사한 결과를 보입니다. 이번 블로그에서, 우리는 열전달과 구조역학이 연성되었을 때 재질의 열탄성효과(thermoelastic)를 설명하는 지배방벙식을 기술하겠습니다.

 

Material 및 Spatial Frames

지배방정식에 들어가기 앞서서, COMSOL Multiphysics에서 사용한 시스템프레임을 간단히 고찰해 보겠습니다. 형상비선형이 고려될 때, Solid Mechanics는 material과 spatial간의 프레임을 구별합니다. Material frame은 초기상태 88_blog_01에서 물리량을 표현하는 반면에 spatial frame은 통용되는 상태에서의 88_blog_02좌표를 사용합니다.
아래의 그림들은 사각형 형상이 압축변형을 보이는 예를 나타내고 있습니다. 형상은 길이 10[cm] 이고 하단좌측코너는 초기88_blog_03 에 위치하고 있습니다. 좌우측면에서 boundary load로 압축을 받고 있습니다. 변형은 거의 모든 위치에서 88_blog_04를 나타납니다.

 

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material 좌표계에서 나타나는 사각형 변형형상, 좌측은 초기 우측은 최종형상.

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spatial 좌표계에서 나타나는 사각형 변형형상, 좌측은 초기 우측은 최종형상.

Material 좌표계는 항상 일정시간 내에서 동일한 지점을 언급하는데, 이것은 주어진 위치 88_blog_07에 있습니다. Solid Mechanics의 운동방정식(momentum equation)은 이 좌표계에서 작성됩니다. 다른 한편으로, spatial 좌표계에서 88_blog_08는 현재 상태에서 위치하고 있는 임의의 지점을 언급합니다. 열전달방정식(heat equation)은 이러한 좌표계에서 작성됩니다.

이러한 두 가지 프레임에서, 체적과 관련된 물리량은 다른 값을 가집니다. 예를 들어, 질량(mass)이 없는, material 좌표계에서 밀도(density)는 변형 전후 일정하게 유지하는 반면에, spatial좌표계에서 밀도는 체적변형에 따라 바뀝니다. 그러므로, material 프레임(structure mechanics)에서 작성된 방정식과 연립하고 spatial 프레임에서 열전달 방정식을 연립하기 위해 이러한 값들은 각각의 프레임에서 적절하게 계산될 필요가 있습니다. 아래의 테이블은 spatial에서 material 프레임으로 변환되는 물리량에 대한 변환 목록을 제공하고 있습니다. 이러한 변환은 88_blog_09 와 같이 변형구배(deformation gradient)를 포함하고 있으며, 변형은 88_blog_10입니다. 이러한 두 가지 물리량은 계산된 변형값을 이용하여 Solid Mechanics에서 평가됩니다.

Quantity Material Spatial
Temperature 88_blog_11 88_blog_11
Density 88_blog_12 88_blog_13
Thermal conductivity tensor 88_blog_14 88_blog_15
Pressure work 88_blog_16 88_blog_17
Heat source 88_blog_18 88_blog_19
material에서 spatial 프레임으로 변환될 때 열과 관련된 물리량들

이러한 변환은 형상을 구체화함으로써 응력과 변형률이 열전달에 영향을 준다는 사실을 반영합니다. 예를 들어, 팽창된 경계면은 아래 그림과 같이 더 많은 복사열(88_blog_20 )에 노출될 수 있음을 의미합니다.

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솔리드 상부에서 받는 복사열, 초기형상(왼편)과 상부가 팽창된 형상(오른쪽)

또 다른 예제로는, spatial 프레임에서 열전도 문제인데 초기 상태값 88_blog_14를 주로 사용하며, 솔리드의 변형률과 관련된 88_blog_2288_blog_23을 포함하고 있습니다.

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솔리드의 변형 이후 spatial 프레임에서의 열전도 변형

 

온도 의존형 응력 및 변형률

Solid Mechanics 지배방정식은 material 프레임에서 정의됩니다. 이들은 응력-변형률 관계와 선형운동량 평형방정식에 의해 변형 88_blog_25, 2차 Piola-Kirchhoff응력텐서 88_blog_26, 그리고 탄성번형률텐서 88_blog_27과 연관이 있습니다 .

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여기서, 88_blog_30 는 탄성텐서(elastic tensor)이며, 탄성계수(Young’s modulus)와 프와송비(Poisson coefficient)로 정의됩니다. 이 경우는 Carbon Steel 1020으로 온도에 의존합니다.88_blog_31

온도에 따른 Carbon Steel 020의 탄성계수

탄성효과가 없다면, 탄성변형률 텐서 88_blog_32 는 온도에 의존하며, 열변형률텐서(thermal strain tensor)와 함께 다음과 같이 나타냅니다.

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열팽창계수 88_blog_36는 온도변화로 인한 재질의 수축 및 팽창을 결정합니다. 이것은 보통 스칼라량이나 텐서의 형태로 갖추기도 합니다. 아래의 테이블은 전형적인 등방성(isotropic) 재질의 값들을 나타냅니다.

Material Coefficient of Thermal Expansion (10-6 K-1)
Acrylic plastic 70
Aluminum 23
Copper 17
Nylon 280
Silica glass 0.55
Structural steel 12.3
재질의 열팽창계수

여기에 더하여, 88_blog_36자체도 아래의 예에 보이는 바와 같이 온도에 의존합니다.

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Carbon Steel 1020의 온도에 따른 열팽창계수의 변화

예제에서 보는 바와 같이 통상적인 88_blog_36값은 10-5 K-1입니다. 그러므로, 88_blog_38는 중요한 값이 되어, 기준 상태에서 높은 온도차이를 필요로 합니다. 예로, 알루미늄은 단지 1.2%의 열팽창이 나타나려면 기준온도보다 500k이상의 온도차이를 보여야 합니다.

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실제 변형률을 고려하여, 500K로 가열된 알루미늄 빔의 열팽창 사레.

공식 (3)-(5)을 살펴보면 열팽창률은 전체 변형률에서 추출됩니다. 이것은 미소 변형률에 대한 적절한 근사화로서, 낮은 88_blog_36에 근거한 열변형률이 나타나기 때문입니다. 보다 정확한 확장공식은 거대 열변형이 발생할 때 유효한데 여기에서는 다루지 않겠습니다. 이 지배방정식은 COMSOL Multiphysics에 있는 초탄성재질(hyperelastic material)에 대하여 사용됩니다.

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변형된 솔리드의 열전달 방정식

열평형방정식은 열역학 제1법칙에서 파생된 에너지 평형 방정식입니다. 솔리드를 예로, spatial 프레임에 근거하여 작성될 때 아래와 같이 나타냅니다.

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연성항 88_blog_44는 수축이나 팽창에 기인한 열원으로 다음과 같이 정의됩니다.

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여기서 88_blog_36는 온도에 대해 독립변수이므로 다음과 같이 유도됩니다.

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여기서 는 에서 동일한 열팽창계수입니다. 위 테이블에서 보는 바와 같이 낮은 값은 중요한 열원 을 만들기 위해 을 충분히 높은 값에 대해 보상을 합니다. 즉,

  • 높은 온도
  • 급격한 응력변화

이제 열전달과 구조 간에 연동해석을 위해 네 가지 핵심사항을 기술하도록 하겠습니다.:

  1. 열과 관련한 응력과 변형률의 영향 및 material 혹은 spatial 프레임에서 열플럭스(thermal flux)
  2. 탄성 행렬의 온도 의존성
  3. 열변형률 텐서 대비 탄성변형률 텐서의 온도 의존성
  4. 구조에서 압력에 상응하는 열원

다음으로 COMSOL Multiphysics에 있는 모델링 예제를 통하여 어떻게 다루는지를 보도록 하겠습니다.

 

예제 1: Thermal Stress in a Turbine Stator Blade

이전에 model thermal stress in a turbine stator blade 에서 보다 자세히 방법을 기술하였습니다. 여기서 우리는 88_blog_48의 영향을 나타내기 위해 결과만 나타내도록 하겠습니다. 이 해석은 정상상태 모델(steady-state model)이므로, 압력에 의한 에너지 는 88_blog_44무시할 수 있습니다.

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블레이드 표면에서의 온도장, material 프레임으로 표현

높은 온도에 기인하여, 온도장은 고정자 블레이드 초기형상이 나타나는 기준온도 300[K]와 비교하여 870~1100[K]값을 나타냅니다. 이러한 고온으로 인해 재질이 열변형이 발생하기 쉽습니다. 열팽창 계수의 평균값과 온도는 각각 1.2•10-5 K-1, 1070[ K]이며 88_blog_38는 0.9%입니다.

온도에 기인한 체적 팽창은 대변형으로 88_blog_50 (여기서 88_blog_48는 식(8)에서 소개되었습니다)입니다. 이는 미소 변형률에 대해서도 적절한 근사치를 보이는데, 팽창률은 2.80%근방입니다. 결과 확인(postprocessing)에서 실제 체적팽창률은 2.76%을 나타냅니다.

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고정자 블레이드의 온도장 및 변형. 가시화를 위해 실제 변형보다 3배 확대하여 표현.

 

예제 2: Transient Analysis of a Bracket with Heat Transfer

The Bracket — Transient Analysis model는 Structural Mechanics Module Model Library와 Model Gallery에서 이용 가능합니다. 이 모델은 브라켓 암 부위가 시간 의존형 하중이 빠르게 작용할 때 움직임을 나타냅니다. 결국 온도의 미세한 변화가 일어납니다.
현재 이 모델은 열에 의한 영향을 고려하지 않았기 때문에, 새로운 Heat Transfer in Solids 인터페이스를 추가할 필요가 있습니다.

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그리고, Heat Transfer in Solids 와 Solid Mechanics 인터페이스를 연동하기 위해 두 가지 다중물리 특성을 추가합니다:

Thermal Expansion
이것은 열변형률 텐서(thermal strain tensor) 가 전체 브라켓 영역에 작용합니다.

Temperature Coupling
이것은 Heat Transfer in Solids 인터페이스에 의해 계산되는 온도변화와 Solids Mechanics 인터페이스를 연동하는 것입니다.

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마지막으로, 열탄성열원(therrmoelastic heat source) 를 조정하기 위해 압력에너지(Pressure Work) 하부에 노드를 추가합니다.

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Study는 하중 작용 시간을 30[ms]로 연장할 수 있습니다.

20°C 등온으로 시작하여, 미소한 온도변화는 무시할만한 열 변형률 텐서를 나타냅니다. 열적 효과에 주요 기인요소는 열탄성 소스(thermoelastic heat source)가 급속한 응력 변화를 야기한다는 것입니다.

시간 경과에 따른 브라켓의 온도 프로파일, 스케일값을 10이상 설정한 예

브라켓에서 약 0.8[K] 온도 차이가 관찰됩니다. 가열 및 냉각 과정은 예상대로 응력이 중요하게 작용하고 이에 대한 변화가 크게 나타나는 코너에서 발생합니다.

 

결론

변형된 솔리드 내에서의 열전달은 열전달 지배방정식 및 운동량 방정식으로 계산됩니다. 실제로, 좌표계 간에 차이를 나타낼 수 있습니다:

  1. 운동이 나타나는 material frame
  2. 열전달에 대한 spatial frame

두 가지 프레임에서 체적과 관련한 물리량은 상이한 값을 가지며 각 프레임간에 전환(conversion)이 필요합니다. 특별히 비에너지(specific energies) 및 밀도(density)의 경우 더욱 그렇습니다.

각각 두 개의 지배방정식은 온도에 따른 솔리드 움직임(motion) 혹은 솔리드 변형(deformation)에 따라 열전달을 나타내는 연성항(coupling term)을 포함하고 있습니다. 앞서 설명한 두 가지 예제와 같이, COMSOL Multiphysics는 이들을 편리하게 조건부여할 수 있는 적절한 기능들을 제공합니다.

온도가 기준 상태(reference state)근방에 있을 때나 급격한 응력 변화가 없을 경우에, 이러한 연성 효과는 무시됩니다. 이 밖에, 조건들은 모델 지배방정식에 추가될 수 있습니다.

이에 대한 보다 자세한 사항은, 여러분이 여기에서 언급한 모델 관련 파일을 다운로드 받을 수 있으며, 아래 세션에서 관련 링크와 블로그에서 보실 수 있습니다.

 

Further Resources

Model downloads:

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