Boussinesq Approximation 방법을 이용한 자연대류의 해석

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이번 블로그에서는 자연 대류 문제를 해결하기 위해 Boussinesq approximation과 Navier-Stokes equations를 비교할 것입니다. COMSOL Multiphysics 소프트웨어에서 Boussinesq approximation를 구현하는 방법을 보여주고 그렇게 함으로써 얻어지는 잠재적인 이점에 대해서 논의할 것입니다.

 

응용분야: 정사각형 공동에서 자연대류

이 예제에서는 가열된 벽의 정사각형 공동 (square cavity)에서 Navier-Stokes equations 과 heat transfer equations를 연동시키는 모델을 사용할 것입니다. 왼쪽과 오른쪽에서 온도는 각각 293 K 와 294 K 입니다. 상단과 하단 부분의 벽은 절연되어 있습니다. 유체는 공기이고 각 변의 길이는 10cm 입니다.

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세 가지 다른 접근 방법들을 사용하여 모델에 대한 계산적인 비용을 비교 할 것입니다:

  1. Navier-Stokes equations을 이용한 계산 (접근방법1)
    ρ(∂u/∂t+u∙∇u)=-∇p+∇∙(μ(∇u+(∇u)^T )-2/3 μ(∇∙u)I)+ρg
  2. 압력 변화에 따른 Navier-Stokes equations을 이용한 계산 (접근방법2)
    ρ(∂u/∂t+u∙∇u)=-∇p+∇∙(μ(∇u+(∇u)^T )-2/3 μ(∇∙u)I)+(ρ-ρ_(0)) g
  3. 압력 변화에 따른 Boussinesq approximation를 이용한 계산 (접근방법3)
    ρ(∂u/∂t+u∙∇u)=-∇p+(μ∇^2 u)-ρ_0 (T-T_0)/T_0 g

COMSOL Multiphysics에서 모델은 Laminar Flow, Heat Transfer in Fluids 인터페이스, Non-Isothermal Flow multiphysics coupling를 사용하여 stationary로 해석을 합니다:

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모델을 설정하는 동안에 유동이 난류 또는 층류인지 확인해 보는 것은 중요합니다. 자연 대류 문제에서는 Grashof number, Gr를 계산하여 확인합니다.

Gr=  (g(T_hot-T_cold)L^3)/(^2  T_cold )

Grashof number는 점성력과 부력의 비율입니다. 값이 108 보다 작으면 층류 인 것을 나타내며, 값이 109 보다 크면 난류입니다. 이 모델 경우에는 Grashof number 값이 약 1.5×105 이므로 층류가 되겠습니다.

접근방법 1

Navier-Stokes equation를 사용할 때는, 부력을 ρg로 설정합니다:

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부력 항이 볼륨 힘에 추가됩니다. nitf1.rho 와 g_const 항목은 온도와 압력에 의존하는 밀도, ρ와 중력 가속도, g를 각각 나타냅니다.

접근방법 2

압력에 따른 Navier-Stokes equations 계산 방법을 사용할 때는, 다음의 세 가지를 변경해 주어야 합니다.
첫 번째로, 볼륨 힘의 정의를 (ρ-ρ0)g와 같이 변경이 필요합니다, 예를 들면:

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rho0 항목은 기준 밀도 ρ0를 나타냅니다.

다음으로, 변수 테이블에서 물질특성으로부터 기준 밀도 ρ0 와 기준 점성 81_blog_15를 계산합니다.

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여기에서, PA와 T0는 기준 온도와 압력을 나타냅니다.

공기 점성은 81_blog_16로 설정됩니다:

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접근방법 3

마지막으로, Boussinesq approximation 사용할 때는, 부력을 81_blog_10와 같은 설정이 필요합니다:

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접근방법 2처럼, 물성 값으로부터 기준 밀도와 점성을 계산합니다. 접근방법 3에서 유체 밀도는 일정 기준 밀도 ρ0 로 설정합니다 (Boussinesq approximation에서 부력 항목을 제외하고는 밀도는 일정합니다).

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유의: 만약 모델이 압력 경계 조건을 포함한다면, 접근 방법1에서는 압력을 정수압, -rho0*g_const*y으로 설정하고, 접근 방법 2와 3 경우에는 0[Pa]로 설정합니다.

메쉬는 15,000개 삼각형 요소와 1,200 개 boundary layer 요소로 만들어졌습니다. 이러한 메쉬는 일차 요소(first-order elements) 구성되어 있습니다.

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결과

세 가지 접근방식에서 속도 크기와 유선 결과는 거의 동일합니다. 접근 방법 1과 2 사이의 최고 온도 차이는 2×10-6 K 보다 작고 접근 방법 1과 3 사이의 최고 온도 차이는 약 5×10-4 K입니다. 유일하게 다른 점은 시뮬레이션 시간입니다.

 

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속도 크기와 유선

2D 시뮬레이션의 짧은 해석 시간(약 30초) 때문에, 솔버가 수렴하는 솔루션의 반복 횟수를 비교함으로써 계산 부하를 살펴봅니다. 이 모델 경우 반복 횟수는 CPU 시간에 거의 비례합니다.

아래 테이블은 세 가지 접근방법들의 반복 횟수의 비교를 보여줍니다.

Approach 1 Approach 2 Approach 3
Number of Iterations 39 55 55

이들 결과들은 매우 놀랍습니다!

Boussinesq approximation는 모델의 비선형 성과 수렴에 필요한 반복 횟수를 감소 시킬 것으로 예상되는 반면, Navier-Stokes equations(39 반복) 는 Boussinesq approximation (55 반복) 보다 빠르게 해석 할 수 있습니다. 압력의 변화에 따른 Navier-Stokes equations는 Boussinesq approximation와 똑같은 반복 횟수를 보여줍니다.

결과들에 대해서 더 이해하기 위해서, pseudo time-stepping 알고리즘을 비활성화 한 후에 두 번째 시뮬레이션을 실행하였습니다. Pseudo time stepping는 수송 문제 (transport problem)에서 정상 상태 (steady state)에 대한 수렴의 안정화를 위해서 사용됩니다. pseudo time stepping는 Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) 수를 조절하는 adaptive feedback regulator에 의존합니다. Pseudo time stepping는 종종 모델을 수렴시키기 위해서 필요합니다.
이 모델 경우에는 Pseudo time stepping는 필요로 하지 않습니다.

pseudo time stepping를 포함하는 기본 솔버 설정을 위한 COMSOL Multiphysics 설정 창:

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다음 그림은 pseudo time stepping를 포함하지 않고 있는 솔버 설정을 보여줍니다. 솔버 설정의 변경에 대해서 잘 알고 있지 않는 한, pseudo time stepping를 항상 사용하는 것을 권장합니다.

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자연 대류에 대한 솔버 설정의 유의점:
자연 대류 모델에서 층류와 열 전달 물리 현상 간의 강력한 연동 때문에, 항상 fully coupled solver를 사용합니다. 자연 대류의 모델링에서 층류 물리에 볼륨 힘이 추가될 때, COSMOL 소프트웨어는 자동적으로 fully coupled solver로 변경됩니다.

두 번째 테이블은 pseudo time stepping 없는 반복 횟수를 보여줍니다:

Approach 1 Approach 2 Approach 3
Number of Iterations 9 7 7

이러한 결과들은 pseudo time stepping 포함한 이전 결과들 보다 더 이치에 맞습니다. 접근방법 3는 가장 선형적인 문제이기 때문에, 접근방법 1 보다 빠르게 수렵합니다. 접근방법 2와 3는 놀랍게도 똑 같은 반복 횟수에서 수렴합니다.

이러한 두 번째 결과들과 첫 번 째 결과들과 비교해서, 접근방법 3 – Boussinesq approximation 경우 8 배 속도 증가 (55반복에서 7반복으로 줄어듦)가 관찰됩니다. 또한 첫 번 째 결과들에서 반복 횟수는 선형 문제와 pseudo time-stepping 알고리즘에 영향을 받는 다는 것을 보여줍니다.

 

무엇을 배웠습니까?

Boussinesq approximation방법과 압력의 변화에 따른 구현과 이점에 대해서 논의하였습니다. pseudo time stepping를 사용의 유무에 관계없이 이 특정 모델에서 Boussinesq approximation방법을 사용할 경우 계산 시간에 대한 실제적인 이득은 없다는 것을 결과에서 보여주고 있습니다. Boussinesq approximation는 비선형성이 작을 때만 유효한 방법이기 때문에 이 경우에는 일반적인 경우에 해당됩니다. Navier-Stokes equations에 비해서 Boussinesq approximation의 아주 짧은 계산 시간은 Boussinesq approximation 방법은 유효하지 않을 수도 있습니다.

Boussinesq approximation방법의 작은 해석 속도 증가와 이 방법의 해석 결과가 항상 유효할지 알 수 없기 때문에, 일반적으로 Navier-Stokes equations를 이용한 해석을 권장합니다. 그러나 압력 변화에 따른 구현(접근방법 2와 3)는 반올림 오류를 방지하고 시간 해석 문제 및 open boundaries 적용한 모델을 단순화 합니다. 이것은 다음 블로그 항목의 대상이 될 것입니다.

접근방법 3(압력의 변화에 따른 Boussinesq approximation)의 사용은 더 많은 구현 단계를 포함하고 접근방법 2(압력 변화에 따른 Navier-Stokes equations)와 비교해서 반복 횟수는 감소하지 않습니다. 온도와 압력에 따른 밀도와 온도에 따른 점성에 대한 계산을 요하지 않기 때문에 접근방법 3의 최종 시뮬레이션 시간은 약간 짧아 질 수 있지만, 이러한 속도 증가를 체감하지 못할 것입니다.

pseudo time-stepping 알고리즘을 해제한 상태에서 접근방법의 선택에 따라서 반복 횟수는 계수 4에서 8만큼 감소합니다. 그러나 pseudo time stepping를 적용하지 않거나 load ramping 또는 nonlinearity ramping 관련된 설정 없이 대부분의 문제들은 수렴하지 않는다는 것을 유념하시기 바랍니다.

CFD 또는 Heat Transfer 모듈을 사용하여 이 모델에 대해서 설정하고 해석을 할 수 있습니다. 만약 모델에 대해서 질문에 있다면 기술 지원 팀에 연락을 주시기 바랍니다. 만약 COMSOL Multiphysics 사용자가 아니고 소프트웨어에 대해서 자세한 내용을 알고 싶다면, 제공되는 양식을 통해 문의해 주시기 바랍니다.

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