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해석 모델은 때로 특이점(singularities)를 나타낼 수 있습니다. – 이는 해석 측면에서 무한대 값을 나타냄을 의미합니다. 이번 블로그에서는 일반적인 특이점 원인 제거 방법 및 모델에서 특이점 발생 시 결과를 분석하는 방법에 대해 고찰하고자 합니다. 대부분의 논의가 structural mechanics에서 이루어 지고 있지만, 동일한 현상이 다른 여러 분야에서도 발견됩니다.

문제점

구조해석 분야 컨설턴트 역할을 수행하면서, 사용자에게 유한요소모델에서 나타나는 터무니 없이 높은 응력 수준의 값을 보고할 때 문제점에 직면하곤 합니다. 해석 경험자의 경우 모델에서 높은 수준의 응력이 예상되는 지점을 인지하고 무시할 수 있습니다. 하지만, “응력 크기는 항복응력(yield stress)의 70% 수준을 넘을 수 있다”는 점을 언급할 경우, 이 점이 문제시 될 수 있습니다. 동일한 중요사항은 결과 확인 시 협소한 영역에서 높은 수준의 응력은 항상 무시될 수 있는 것은 아닙니다. 그러므로, 우리는 모델 결과를 분석하기 위한 적절한 기술이 있어야 합니다.

날카로운 코너가 있는 모델: 특이점의 전형적인 모델

날카롭게 오목한 코너 부위는 모든 편미분방정식(elliptic partial differential equations)에 대한 종속변수에 대해 특이점(singularity)이 발생할 것입니다. 구조해석에서, 이는 변형률에 해당하는 굽힘이 없음을 의미하는데 자유도(degree of freedom)가 변위이기 때문입니다. 재질에 대한 제한이 없다면, 응력은 이러한 경우에 무한한 값을 나타낼 수 있습니다.

아래 모델을 살펴봅시다. 이 모델은 2*1[m] 크기의 사각 평판 내부에 0.2[m]크기의 형상이 천공되어 있으며 순수 인장이 작용한다고 가정합니다:

평판 좌측이 고정되어 있고 우측에 균일한 하중이 작용합니다.

천공된 부위 주변에 상이한 두 가지 요소로 생성된 모델을 통해, 유효 응력 수준은 완전히 다른 양상을 나타냅니다. 최대 응력은 조밀한 요소생성 모델 대비 두 배 수준을 나타내며, 응력 영역에서 상세한 표현이 생략되어 있습니다. 이는 물론 수동으로 응력 범위를 조정함으로써 이러한 현상을 방지할 수 있으나, 최초 육안 확인한 바로는 중요 사항이 나타나지 않았습니다.

동일 지점에서 유효응력 수준. 두 개의 결과는 요소에 의존한 최대응력 수준에 의해 자동 스케일 조정으로 나타난 결과입니다.

사실, 코너부분에서 사용되는 요소는 크기가 작을수록 응력값은 상승함을 알 수 있습니다. 이러한 결과는 실제 응력값이 무한하게 커지는 방향으로 가는 경향이 있기 때문에 수렴하지 않을 것입니다.

요소 크기에 따른 코너부에서의 응력값(x축 지수형태)

만일 우리가 천공 부위 근방을 검토한다면, 응력 수치가 매우 국부적임을 알 수 있습니다. 아래 그림에서, 응력은 천공 영역 0.05[m]에서 수직 방향으로 절단면을 따라 나타나는 응력 수치를 나타냅니다. 여기에서, 사실 응력은 두 가지 성분에 의해 코너 영역에서 응력 최대치가 변하더라도 변동이 없습니다.

절단선에 따른 응력의 변화(빨간색으로 표시). 다섯 가지 상이한 크기의 요소가 사용되었습니다.

실제로, 완전히 뾰족한 코너를 형성하는 경우는 흔하지 않습니다. 그러므로, 여러분은 모든 필렛이 포함된 정확한 형상을 사용하는 것이 논쟁이 될 수 있는데, 이를 통해 특이점을 피할 수 있는 가능성이 있습니다. 사실, 이 경우는 제원이 함께 따릅니다. 만일, 매우 작은 상세 형상이 요소로 계산되어야 한다면, 모델은 상대적으로 어마어마하게 커질 것입니다(특히 3D인 경우). 완벽한 캐드 형상이 사용될 때, 해석 결과에 중요하지 않은 작은 세밀한 부위를 재구성(Defeature) 합니다. 그러므로 대부분의 경우에, 우리는 전처리 단계(preprocessing stage)에서 뾰족한 코너를 의도적으로 도입합니다.

그러나, 코너 형상을 도입할 경우, 몇 가지 문제점이 있습니다:

• 비선형 재질의 경우, 특이점에서 연산 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 크리프 모델(creep model)에서 예상되는 변형률(strain rate)은 빈번하게 응력의 최대값에 비례하여 나타납니다. 5배까지 올라가는 특이점(요소에 의해 결정되는)에서 높은 수준의 응력은 변형률에서 높은 수준을 나타내어 수 개월 단위에서 나타나는 현상을 구현하고자 할 때 시간 구간(time stepping)이 밀리센컨드(milliseconds) 수준으로 설정해야 합니다. 만일 여러분이 뾰족한 코너 형상을 유지하고자 한다면, 이에 대한 대책은 작은 탄성 영역에서 특이점을 둘러싸는 것입니다.
• 오류 예측을 위한 adaptive meshing은 실패할 수 있는데, 특이점이 나머지 해석 결과에 지배적으로 작용할 수 있기 때문입니다. 이러한 과정에서는 코너 영역을 배제하십시오.
• 응력이 문제가 되는 영역을 포함한 모델에서의 최적화 구동 시, 특이점의 해석결과는 단순히 응력의 최대값 진폭을 줄이는 방향으로 최적화 될 수 있습니다. Multistudy Optimization of a Bracket tutorial예제에서, 브라켓이 볼트로 체결되는 영역은 최대 응력을 구하는 영역에서 배제됩니다.
• 앞에서 언급한 바와 같이, 최대 응력값은 가시적으로나 혹은 심리적으로 해석에서 관심을 나타내는 특징을 모호하게 할 수 있습니다.

물리적으로, 코너 형상이 매우 뾰족하면, 재질은 높은 변형률 수준을 나타내며 손상이 갈 것입니다. 취성 재료는 균열(crack), 연성 재질은 항복(yield)이 예측 됩니다. 반면 경고음이 있을 때, 이러한 손상은 대부분 응력의 국부적 재분배를 야기할 것입니다. 주변 구조물의 관점에서 보면, 효과는 필렛 반경의 미세한 변경보다 더 큰 변화는 없습니다. 높은 수준의 국부적 응력은 하중이 주기적으로 작용하여 피로를 야기 시킬 경우에 실질적인 문제가 될 것입니다.

건축물에서, 창문이나 출입문이 뾰족한 코너를 가지는 사각형 형상을 하고 있는 것에 관심을 갖는 사람은 아무도 없습니다. 그러나, 비행기에서는 기내 압력과 외부 압력의 차이가 주기적인 하중 이력의 변화가 있기 때문에 동그란 형상을 합니다.

왼쪽: 뾰족한 코너형상을 하고 있는 사각형 창문. Image by Jose Mario Pires. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons. 오른쪽: 곡선 형상의 창문. Image by Orin Zebest. Licensed under CC BY-SA 2.0 via Wikimedia Commons.

이는 많은 설계 기준 사례로 알 수 있는데, 높은 수준의 응력은 하중이 정적(static)인 경우에는 지속성이 있습니다. 코너부의 국부적 응력은 구조물의 하중을 버티는 능력에 영향을 미치지 않을 것입니다. 이러한 접근방법은 응력 영역을 구분하는 시스템에 의존합니다. 이러한 방법은, ASME Boiler & Pressure Vessel Code에 기술되어 있습니다.
주기적인 하중에 있어서, 다른 한편으로는 매우 정확한 응력값을 얻는 것이 중요합니다. 피로수명(fatigue life)은 응력의 진폭에 매우 밀접한 관련이 있습니다. 이 경우, 형상뿐 아니라 요소의 세밀함을 이용해 정확한 필렛 표현이 필수적입니다. 만일 모델이 너무 커서 운용이 어렵다면, 여러분은 submodeling을 이용할 수 있으며, 접근방법은 this blog post에 기술되어 있습니다.

오른쪽에 있는 상세 submodel은 전체 형상 해석의 결과로 운용될 수 있습니다.

Tip: submodeling 기술에 대해 좀 더 알고자 한다면, Application Gallery에 있는 Submodeling Analysis of a Shaft tutorial 을 다운로드 하십시오.

점 하중(Point Loads)

포인트에 작용하는 하중은 국부적으로 무한 응력을 발생시킬 것입니다. 이는 탄성론(theory of elasticity)에서 classical Boussinesq-Cerruti problem 이라 하는데, 응력은 하중 작용점에서의 거리에 반비례하여 변합니다.
실제로, 포인트 하중은 존재하지 않습니다. 하중은 임의의 면적에서 분포하중으로 작용합니다. 유한요소 관점에서 보면, 이러한 문제는 작은 영역에 작용하는 문제를 해소하기 위한 노력의 일환으로 가치가 있습니다. 이 질문에 대한 해답은 Saint-Venant’s principle에 있으며, 하중작용 면적과 비교하여 통계적으로 등가 하중분포가 거리가 충분히 길 때 동일한 결과를 나타냅니다.

그러므로, 상세 결과가 언급한 거리 내에서 중요하지 않을 경우, 하중 작용 면적 크기의 세 배를 하며, 실제로 여러분이 최종 작용하중과 모멘트가 정확하다면 어느 정도 하중을 적용할 지는 중요하지 않습니다. 단순히 코너부의 특이점을 갖는 경우에 있어서는, 여러분은 특이점의 응력 효과를 회피할 필요가 있습니다. 주의할 점은 선에 따른 하중 적용은 무한대 응력을 야기하는 포인트 하중과 동일한 효과를 나타낼 것이라는 점입니다.

빔 요소나 쉘 요소에 수직하게 포인트 하중의 적용은 특이점을 유발하지 않는다는 점이 흥미롭습니다. 구조의 굽힘은 solid mechanics와 달리 상이한 지배방정식을 적용합니다. 그러나, 쉘 표면에 적용하는 포인트 하중은 특이점을 야기시킬 것입니다.

구속 조건(Constraints)

우리가 반력 적용 관점에서 구속조건을 생각한다면, 예를 들어 포인트에 구속 조건을 부여하는 것과 관련하여 동일한 결론을 이끌어 낼 수 있습니다. 아래의 대칭 문제를 가정해 봅시다. 여기서 우리는 평판의 한 쪽에 동일한 인장력(tensile load)이 작용하고 반대쪽은 롤러 조건(roller conditions)을 부여하였습니다.

1/2 형상에 하중 및 구속조건을 부여한 사각 평판

응력 분포를 살펴보면, 이는 롤러 구속 조건의 끝이 하중이 작용하지 않아 급격한 변화를 나타내는 특이점 현상을 볼 수 있습니다. 일반적인 고찰은 구속조건의 끝은 뾰족한 코너와 유사한 효과를 나타냅니다.

수평방향 응력분포

구조물을 지지하는 무한강성 환경(infinitely stiff environment)은 실제로 존재하지 않습니다. 해석은 아래와 같이 선택의 여지가 남아있습니다: 미세한 영역의 취약부분을 가지고 갈 것인지, 혹은 구조물 외부에 좀 더 주의를 기울여 고찰할 필요가 있는지의 여부입니다.

만일, 경계조건으로 야기되는 특이점이 타당하지 않다면, 여러분은 아래의 접근방법을 고려할 수 있습니다:

• 구속조건에 의해 야기되는 특이점이 관심영역 밖으로 이동하도록 모델을 확장하십시오.
• Spring Foundation 조건을 적용한 보다 유연한 구속조건을 사용하십시오.
• 해석 영역을 확장하는 보다 단순한 방법을 제공하는 무한 요소(infinite elements)을 사용하십시오. this tutorial을 통해 이용 방법을 습득하십시오.

상기에서 언급한 것과 유사한 상황을 여러 가지 방법으로 전환(transitions)할 수 있음은 의심할 여지가 없습니다. 이러한 전환의 예제는 유연체 도메인(flexible domain)에 강체 도메인(rigid domain)과 연결하는 것입니다.

용접(Welds)

용접 해석 기술은 중요하고 복잡하여 이에 대한 자체 블로그 포스트에서 설명하겠습니다. 여기에서는 간단하게 다루도록 하겠습니다.

용접 구조물은 종종 얇은 박판들로 구성되어 있어서, 쉘(shell)모델링을 사용하는 것이 당연합니다. 아래의 모델을 살펴봅시다. 이 예제에서는, 응력 집중현상이 넓은 평판에 용접되어 있는 아주 작은 부위에 나타나는 것이 확인됩니다.

쉘로 구성된 두 개의 평판이 용접되어 있을 때의 응력

형상과 하중은 형상 중심에 대해 대칭입니다. 모델의 요소생성은 용접부위의 끝을 매우 조밀하게 생성합니다. 용접라인을 따라 응력 분포는 양쪽 평판에서 동일하게 특이점을 나타내고 있습니다.

특이점을 나타내는 응력 그래프

많은 용접 구조물-선박선체, 크레인, 그리고 트럭 구조물-에 있어서 피로현상(fatigue)은 중요한 문제입니다. 솔리드 모델을 이용한 모델링 과정의 재구성은 여기에서 답을 하기 어렵습니다. 국소 형상 및 용접 모델의 특성은 현실에 기반을 두거나 X-ray투과하지 않는 이상 적절하게 정의하기가 쉽지 않습니다. 국소 형상은 용접부위에 따라 달라질 것이며, 상대부품 간의 용접은 통상 일정해야 합니다.

용접을 해석할 때, 대부분 일반적인 접근 방법은 용접 라인이나 특정 거리가 떨어진 라인에 따라 응력이 평균값으로 적용된다고 가정하는 것입니다. COMSOL Multiphysics에서 절단선(cut lines)은 특히 이 때 유용합니다. 국소좌표계(local coordinate system)는 용접부위에서의 응력성분이 다르게 취급되도록 수평 수직 방향 성분으로 다룰 수 있습니다. 이러한 평균 응력은 핸드북에 있는 것과 비교되는데, 용접 양상이나 용접상태의 수에 따라 이용 가능합니다. 이에 대한 보다 많은 사항은 Eurocode 3: Design of steel structures — Part 1-9: Fatigue을 참조 바랍니다.

균열(Cracks)

형상 측면에서 특이점이 발생하는 최악의 경우는 균열에 의해 야기되는 것입니다. 균열은 180° 요각(re-entrant) 코너를 나타내는 지점에서 확인 가능한데, 코너에서의 특이점이 여기에서도 적용됩니다. 균열이 유한요소 모델에서 나타날 경우, 이는 전형적인 관심부위가 됩니다.

변형 상에서 균열 팁(crack tip) 주위의 응력

균열 팁 주위의 응력은 해석으로 알 수 있으며, 적어도 임의의 가정 하에 선형 탄성 혹은 소성에 적용됩니다. 그러나 유한요소 해석을 통한 응력 계산은 특이점 때문에 도출하기 어려울 수 있습니다. 다행히, 균열 팁에서의 상세 사항을 연구할 필요는 없습니다. 응력집중성분(stress intensity factor)을 결정할 때, 여러분은 J-integral 혹은 energy release rate 방법을 이용할 수 있습니다. 이러한 접근 방법은 균열 팁에서 다소 동떨어진 전역적으로 나타나는 물리량의 사용이 가능하여 특이점에서 상세 사항의 중요도가 떨어집니다.

Tip: J-integral 사용법에 대한 보다 많은 정보를 원하면, Application Gallery에 있는 Single Edge Crack tutorial를 참조바랍니다.

결론

유한요소 모델에서 나타나는 특이점은 다양한 원인에 의해 나타납니다. 여러분이 결과 분석 및 임의의 결과를 회피하는 방법을 이해한다면, 특이점은 여러분의 모델에서는 문제 시 되지 않을 것입니다. 사실, 많은 실제 현장에서 사용하는 모델은 의도적인 특이점의 사용을 요합니다. 모델 사이즈 및 해석 시간의 감소는 특이점을 도입해야 하는 상황에서 자주 형상의 세밀함, 작용하중 그리고 경계조건의 단순화를 필요로 합니다.

블로그 Part 1에서 해석 모델에 직접 측정 데이터를 입력하여 사용할 경우, 몇 가지 고려사항에 대해 토의하였습니다. 초탄성 재질(Hyperelastic materials)은 세부적으로 몇 가지 검토 사항이 있습니다. 오늘, 우리는 비선형 재질 혹은 탄소성(elastoplastic) 재질의 사용방법을 살펴보고 COMSOL Multiphysics에서 측정데이타를 직접 입력하는 방법을 소개하겠습니다.

비선형 탄성 재질(Nonlinear Elastic Materials)

어떤 재질은 작은 변형률(strain)에 대해 이미 뚜렷한 비선형성(nonlinearity)을 나타냅니다. 그러나 하중을 제거하면, 이들은 응력-변형률 경로를 따라 초기 상태로 되돌아 가므로, 응답(response)은 탄성(elastic)입니다. 이를 비선형 탄성 모델(nonlinear elastic model)이라 부릅니다.

이전 블로그에서, 우리는 초탄성 재질을 검토하였는데, 왜 구상흑연주철(nodular cast iron)이라 불리는 재질에 대해서 응력-변형률 측정 곡선에 부합하는 모델 중 하나를 사용하지 않을까요? 답은 초탄성 재질 모델이 대변형(large strain)에 잘 맞기 때문입니다. 고무 재질은 초기 형상 대비, 수 백 프로의 변형률을 가지고 있는 반면에, 일반 강(elastic metal)이나 취성(brittle)인 재질은 변형률이 1%이하입니다.

자주 사용되는 Mooney-Rivlin 모델은 당연히 작은 변형률에 대해 선형 특성을 나타내므로, 여기에서는 언급할 필요가 없습니다. Ogden모델은 응력이 신장 (stretch)하는 힘의 합으로 계산됩니다. 그러나 작은 변형률에 대해서는, 신장이 대략 0.999~1.001 범위에 있습니다. 뚜렷한 비선형성을 예측하기 위해, 지수는 매우 높아야 합니다. 이러한 방정식에 부합하는 안정적인 데이터는 실현 가능성이 낮습니다. 낮은 수준의 변형률은 취성 재질에서 나타나는데, 공칭변형률(engineering strain)은 변형에 대해 보다 실제 현상에 부합하는 표현입니다. 여러분은 “Why All These Stresses and Strains?에서 여러 가지 상이한 특성의 응력 및 변형률에 대해 보다 자세하게 알 수 있습니다.

이러한 상황에 대처하고자, COMSOL은 작은 변형률에 대한 비선형 탄성 모델을 제공합니다. 이러한 재질 모델은 Nonlinear Structural Material Module이나 Geomechanics Module이 필요하며 Solid Mechanics 혹은 Membrane 인터페이스에서 사용 가능합니다. 이제 이러한 재질을 사용하는 방법에 대해 설명하겠습니다.

COMSOL Multiphysics에서 제공하는 비선형 탄성 재질 설정

총 9가지 비선형 탄성 모델이 있습니다. 이들 중 몇몇은 몇 개의 매개변수에 의해 정의되는 단순 수학적 유형을 포함하고 있습니다. 임의의 모델은 실험적인 단축 응력-변형률 데이터를 다룰 때 특히 유용합니다. 이 모델은 측정 데이터에 근거한 해석을 위해 명백하게 의도된 것입니다. 이 모델을 위한 설정방법을 살펴봅시다:

단축 비선형 탄성 모델 설정

주된 입력은 단축변형률에 대한 단축 응력함수입니다. 이 예제에서, 측정 데이터는 stress_strain_curve라 불리는 보간 함수(interpolation function)로 주어지거나, 해석적 표현방법으로 주어질 수 있습니다. 보간 함수는 데이터 지점의 개수로 입력될 수 있으며, 혹은 파일에서 불러올 수 있습니다. 여기서, 불러오기는 Excel®에서 직접 불러올 수 있습니다. 이는 LiveLink™ for Excel®을 필요로 하지만, 테이블화된 텍스트 파일에서 데이터 읽기가 가능합니다.

불러온 단축 응력-변형률 곡선

그러나, 단축인장곡선(uniaxial)은 다축(multiaxial) 특성을 정의하는데 필요한 충분한 정보를 제공하지는 않습니다. 부가적인 가정이 필요한데, 프와송비(Poisson’s ratio)와 체적팽창계수(bulk modulus)값을 제공해야 하는 것입니다. 수 많은 재질들에 있어서, 0.2~0.3사이의 값을 갖는 프와송비는 훌륭한 근사값(approximation)을 제공할 것입니다. 이는 재질 모델의 정의를 완성하는데 필요합니다.

만일 여러분이 응력-변형률 곡선을 연구한다면, 여러분은 인장 및 압축이 상이함을 주지해야 합니다. 다축인장 응력이 작용할 경우, 특정 지점은 한 방향으로 인장을, 다른 부분은 압축 특성을 나타낼 것입니다. 그러므로 어떤 재질 곡선이 사용되어야 할까요? 재질 모델이 등방성(isotropic)이면, 모든 방향에서 동일한 강성을 나타내지만, 국소 체적변화가 음의 부호를 가지면, 압축이 사용되는 것으로 체적변화를 결정합니다.

이론

등방 비선형 탄성 재질(isotropic nonlinear elastic material)은 아래의 가정 하에 이론적으로 성립이 됩니다:

• 평균 응력(“압력”) 혹은 체적팽창계수(bulk modulus)는 체적 변형률만의 함수입니다.
• 전단응력(shear stress)이나 전단탄성계수(shear modulus)는 전단변형률만의 함수입니다.

만일 이러한 조건들을 만족하지 않는다면, 여러분은 perpetuum mobile이라는 에너지 추출을 이용해 응력-변형률 사이클(stress-strain cycle)을 고안할 수 있습니다.

COMSOL Multiphysics에 내장되어 있는 재질 모델은 이러한 조건들을 만족하도록 고안되었습니다. 만일 여러분이 이축인장 탄성 재질(Bilinear elastic material)의 설정을 검토한다면, 선형탄성계수(Young’s modulus)가 아닌 인장이나 압축 상태에서 이에 대한 체적팽창계수(bulk modulus)을 입력해야 합니다.

대부분의 구조해석은 탄성 재질에 대한 주요 매개변수로서 선형탄성계수와 프와송비를 이용하여 해석을 수행합니다. 그러나 상기 언급한 요구사항은 불행히도 선형 탄성계수가 변형률이나 기타 매개변수에 의존합니다.

• 이러한 독립성을 기술한 함수는 매우 특수한 형태를 포함할 수 있습니다.
• 프와송비는 변형률의 함수이어야 하며, 이는 매우 표현하기가 어려운 함수의 형태를 나타냅니다.

그렇다면, 상수인 프와송비를 갖는 상기의 단축 인장데이타를 어떻게 입력하면 될까요? 해답은 체적팽창계수와 전단탄성계수에 대해 허용 가능한 함수를 생성하는 것입니다. 그래프에서 직관적으로 유도할 수 있을 지 모르지만 선형탄성계수를 만들 수 있는 참고문헌은 없습니다.

이는, 해석자가 탄성재질 모델에서의 등방성이나 직교성에 대해 변형률 독립변수를 도입하는 부분에서 성공적인 모델을 확인할 수 있습니다. 실용적인 공학적 사용 측면에서는 작동에 문제가 없을 지 모릅니다. 우리는 Modeling Stress-Dependent Elasticity에서 응력 종속 탄성계수를 정의하는 방법을 소개하는 예제를 제공합니다. 이러한 접근방법에서 중요한 포인트는 구조가 주로 비례하중(proportional loading)이 적용되는 것으로 예측되어야 합니다.(주방향 변형률이 회전하지 않음)

인장 및 압축을 받는 상이한 선형 탄성계수값을 갖는 캔틸레버빔. 빔은 끝 에서 굽힘모멘트가 예상됩니다. 상부 그림은 von Mises stress를 나타내며, 아래 그림은 선형 탄성계수값을 나타냅니다.

기 설정된 모델이나 직접 만든 모델을 이용하여 비선형 탄성 모델을 설정할 경우, 접선방향 강성(tangent stiffness)나 교차 강성(secant stiffness) 간에 명확한 구분을 하는 것이 중요합니다. 비선형 탄성 모델은 종종 선형 모델과 유사하게 표현하지만, 탄성계수(elastic constant)에서 응력 및 변형률 의존성을 가지고 있습니다(이는 더 이상 상수가 아닙니다.) 전단응력 가 전단변형률 와 관련이 있다고 가정하면,

전단탄성계수 는 교차 전단강성계수가 됩니다. 총 변형률은 교차 강성을 곱하면 됩니다. 접선방향 전단탄성계수 는, 다른 한편으로는, 아래 그림에서 묘사한 바와 같이 미소한 변형률 변화를 겪는 강성입니다.

 

수학적으로, 두 가지 탄성계수 간의 관계는 아래와 같습니다.

 

 

여러분이 측정한 데이터는 주로 아래의 형태로 나타냅니다.

이는 교차 강성이 실제로 아래와 같음을 의미합니다.

응력-변형률 곡선을 이와 같은 수식을 이용하여 교차강성 형태로 치환하면, 제로 변형률(zero strain)에서 제로-분할(zero-divide)이 가능하다는 점에 주목해야 합니다.
여러분은 또한, 임의의 재질이 임의의 승수 n으로 표현하는 지수법칙에 맞아야 한다는 점에 마주칩니다. 이는 아래 둘 중 하나임을 의미합니다.

혹은

COMSOL Multiphysics상에서 지수법칙은 반지수(semi-log) 형태의 그래프에서 응력-변형률 곡선 경사와 관련한 변형률 지수 n을 보다 일반적으로 정의 합니다.

비선형 탄성과 함께 근사화한 소성 특성

순수 인장 시험은 임의의 측정된 비선형성이 소성(plasticity)이나 기타 사항에 근거하여 나타난 것이라고 생각할 수 없습니다. 무부하 곡선 또한 고찰되어야 합니다. 이는 아래 동영상에서 보여주듯이, 이전 블로그에서 다루었습니다.

소성 해석을 위한 비선형 탄성 모델의 사용은 이전 블로그에서 다루었습니다.
단축 인장 시험 데이터 모델의 사용에 더하여, 특별히 Ramberg-Osgood 비선형 탄성 재질 모델이 탄성소성 모델을 표현하기 위해 사용되었습니다. 비선형 탄성 재질의 사용은 컴퓨터의 재원 사용이 획기적으로 줄어들지만, 아래와 같이 제한이 있습니다.


• 분명히, 단순 연속적인 하중 증가만이 허용됩니다.
• 만일, 열팽창과 함께 압력이 외력으로 작용하는 여러 가지 유형의 외력이 작용한다면, 항상 서로 비례하지는 않습니다. 이는 국소응력(local stress)이 비례하지 않는 원인이 됩니다.
• 세 방향으로의 응답 특성이 항상 동일하지 않습니다. 심지어 단축 응력-변형률 곡선이 비선형 탄성 모델에 대해 유일하고 완전 탄성소성 모델(full elastoplastic model)에서 조차도 동일한 현상이 발생합니다. Von Mises flow 법칙과 같은 구조 강의 소성에서, 소성 변형은 체적을 유지합니다. 이는 비선형 탄성 모델에 부합하는 현상이 아닙니다.

결론

적절한 재질을 선정하고자 할 때, 여러분은 전체 해석의 정확성을 검토해야 합니다. 공학적인 측면에서, 우리는 종종 완성되지 않은 정보를 통해 수행해 왔으며, 이러한 측면이 재질의 균질성과 실제 구조 형상의 크기 측면에서 불확실성의 부하로 가중될 것입니다. 여러분은 또한 경계조건 선정으로 근사화 시키고자 할 것입니다. 이는 해석결과의 질적 측면을 결정함에 있어서 가장 취약한 부분이며, 정확히 수학적인 기초에 근거한 모델과 일치하지 않을 수 있습니다.

이전 블로그에서, “단순 응력-변형률 값을 입력값으로 사용하는 것은 바람직한 생각이 아닙니다”라고 언급하였습니다.

그래서, 왜 나는 사고방식을 바꾸었을까요? 해답은 단축인장 데이터 모델을 이용하는 것이 사용 가능한 실제 측정 데이터라는 것입니다. 모든 초탄성 모델이나 비선형 탄성모델에 있어서, 측정 데이터는 매개변수를 사용한 수학적인 모델에 부합해야 한다는 것입니다. 이는 인간의 관리감독 없이는 안전하게 수행될 수 없는 곡선맞춤(fitting) 작업입니다.

다른 비전문가들이 여러분의 다중물리현상 해석을 스스로 해석 할 수 있게 된다면 어떻게 될까요? 여러분의 시간을 절약할 수 있고, 그들은 여러분의 전문지식에 손쉽게 접근할 수 있게 됩니다. COMSOL Mutiphysics를 이용하면 사용자 임의로 손쉽게 사용할 수 있도록 만들어진 인터페이스를 가진 최적화 된 앱을 만들 수 있습니다. 이번 블로그에서는 앱을 왜? 그리고 어떻게 만들 수 있는지를 Corrugated Circular Horn Antenna Simulator 예제를 가지고 설명 드리겠습니다.

더 이상 동료들을 위해 변수를 반복적으로 바꾸어 가며 해석할 필요가 없습니다.

여러분의 디자인들과 공정 과정들은 원하지 않더라도 많은 물리 현상들로부터 영향을 받습니다. 그러므로 사용자는 완벽한 조건들을 가진 환경에서 장비를 설계 할 수 없습니다. 해석은 사용자의 디자인들에서 다수의 물리 현상들이 최종 제품의 성능에 어떠한 영향을 주는지 연구할 수 있도록 도와 줍니다. 그러므로 해석 엔지니어들은 시제품 제작이나 생산 전에 설계들을 최적화 할 수 있습니다.

경우에 따라 간혹 여러분의 해석 과정은 모델 설정이나 해석, 시각화, 다음 과제로 넘어가기 등이 간단하지 않을 수도 있을 것입니다. 만약 여러분이 다른사람 – 안테나 설계자나 제조 공정과 관련된 누군가 – 을 위한 해석을 수행하게 되면 추가적인 작업이 발생할 것입니다. 그들의 추가적인 요청은 처음의 작업에서 크게 다르지는 않을 것입니다. 아마 “안테나의 크기를 변경했을 때 특성이 어떻게 달라지나요?” 와 같이 특정 변수에 대하여 간단하지만 반복적으로 변화시키는 작업을 요청 할 것입니다.
얼마나 많은 간단한 해석을 다른 사람들을 위해 반복 해석해 주시겠습니까? 그들이 스스로 이러한 해석을 실행하게 하고 싶지 않습니까? COMSOL Multiphysics를 이용하면 가능합니다.

과학 기술이 발전함에 따라 다중 물리 요소들에 대한 연구의 중요성이 높아졌으며, 해석 툴들은 복잡한 해석을 다루기 위해 더 복잡해 졌습니다. COMSOL Multiphysics^®의 Application Builder를 이용하면 엔지니어들이 제한 없이 다양한 해석을 수행할 수 있도록 도와 줍니다. Application Builder를 이용하여 앱 들을 만들면, 비전문가들도 여러분의 해석을 사용할 수 있어서, 여러분은 다양한 설계 변경에 따른 반복 해석을 피할 수 있습니다.

지금부터 COMSOL®의 해석 앱을 위한 기능들에 대하여 살펴 본 후, 해석 앱을 만드는 방법에 대하여 보여 드리도록 하겠습니다.

해석 앱이란 무엇일까요?

다른 해석이나 모델들에서 만들어 진 응용 프로그램들을 이용하면 손쉽게 해석할 수 있습니다. 앱을 만들 때, 사용자들은 설계나 시스템 제조, 공정 중 중요한 변수들에만 접근하도록 설정할 수 있고, 이러한 변수들을 조절하고 변경시키기 위해 적당한 입력과 출력 항들을 추가할 수 있습니다.

만들어진 앱의 사용자 인터페이스(UI)에서 form object와 같은 몇몇 성분들이 존재합니다. 우리는 Method Editor를 이용하여 앱의 유용성을 최적화 하면서, Form Editor를 이용하여 이러한 form object들을 추가하거나 수정하여 UI를 변경할 수 있습니다. Method Editor는 Java®API를 지원하는 프로그래밍 환경을 제공하여 더 뛰어난 해석기능과 작업 과정에 통합적 접근을 제공하도록 도와 줍니다. 요리과정에 비유한다면, Form Editor를 통하여 추가된 form object는 레시피에서 중요 재료이고, Method Editor는 음식의 풍미를 높여주고 고명으로 쓰이는 향신료와 같은 역할을 합니다.
한번 여러분이 맞춤형 인터페이스를 만들면, 여러분의 앱들을 다른 동료들과 공유할 수 있고, 이런 앱들을 이용하면, 여러분이 다른 일을 하는 동안 전문가가 아니더라도 특정 성능을 만족하기 위해 변수들을 수정하고 설계들을 최적화 하기 위한 해석을 수행할 수 있습니다.

Application Builder를 이용하면, 여러분들은 어떠한 해석이든 해석용 앱으로 만들 수 있습니다. 최근에 출시된 COMSOL Multiphyscis 5.1버전에서는 여러분들이 앱을 만드는 것을 돕기 위한 20가지의 데모 앱들이 제공됩니다. 이러한 데모 앱 중 하나인 Corrugated Circular Horn Antenna Simulator를 이용하여 어떻게 앱을 만드는지를 설명 드리도록 하겠습니다.

모델에서 앱 만들기 : Corrugated Circular Horn Antenna Simulator

Corrugated Circular Horn Antenna Simulator 데모 앱은 Application Gallery의 예제를 기반으로 만들어 졌습니다. 이 예제는 전자파에 대하여 해석한 모델로 2차원 축대칭 형상을 이용하여 해석한 후, 3차원으로 결과를 출력하였습니다.

전문가가 아닐 경우, 이러한 간단한 예제들도 상당히 복잡하게 보입니다. 그래서 여러분은 이러한 다듬어지지 않은 모델을 안테나 설계자들에게 주고 싶지 않을 것입니다. 왜냐하면 부적절한 형상 변수들이 선택되면, 형상은 만들어 지지 않고, 경계조건과 같은 해석 조건들이나 메쉬들은 동작 하지 않을 것이기 때문입니다. 오직 여러분만이 원활하게 해석되고 유효한 결과들을 생성하는 입력 변수 범위를 알고 있을 것입니다.

이미 언급된 문제들을 피하기 위해, 여러분들은 다음과 같은 앱을 만들 수 있습니다.

• 직관적인 UI
• 손쉬운 결과 출력
• 사용자가 원하는 목표 대비 빠른 해석 유효성 판단
• 앱 관련 문서
• 원클릭을 이용한 손쉬운 해석 보고서 작성

여기에서 우리는 이러한 기능들이 무엇이고, 어떻게 여러분의 앱에 포함하는지를 Corrugated Horn Antenna 예제를 이용하여 보여 드릴 것 입니다.

맞춤형 사용자 인터페이스

위에서 언급한 것처럼 form object를 이용하면 사용자가 앱의 UI를 만들 수 있으며, 앱을 좀 더 편리하게 만들 수 있습니다. 하단은 여러분이 앱을 만들 때 사용할 수 있는 object들에 대한 그림입니다 :

Form objects는 사용하기 쉬운 UI들을 만들 수 있도록 도와줍니다.

여러분들은 이러한 form object들이 앱 속에서 어떻게 실행되고, 동작되는지 궁금할 수도 있습니다. 지금부터 Corrugated Circular Horn Antenna Simulater데모 앱의 UI를 이용하여 살펴보도록 하겠습니다.

앱은 홈이 있는 원형 혼 안테나의 원거리장 방사패턴을 보여 줍니다. 형상 변수들과 동작 주파수들은 안테나 성능 최적화를 위해 변경될 수 있습니다.

응용프로그램을 위한 사용자 인터페이스는 디자인 변수들 선택과 결과 분석, 앱에 대한 정보로 구성됩니다. 게다가 이 앱에는 그래픽 창 이외에 10개의 명령어를 다룬 버튼을 포함하고 있습니다. UI의 상단에 있는 명령어 부분은 추가적인 동작을 수행하는 많은 버튼들로 구성되어 있습니다. 버튼들은 원클릭 동작으로 실행할 수 있고, 초기에는 다음과 같습니다:

상단의 UI와 같이 명령어 부분 디자인을 위해서는 다음과 같은 과정들이 실행됩니다:

• form에서 버튼 실행
• 특정 버튼의 이름과 크기, 그림을 설정 합니다.
• form의 배경이미지를 추가합니다.
• 동작을 위한 Method를 추가합니다.

form과 버튼을 이용하여 명령어 부분을 만들었습니다.

Design Parameters부분에는 다음과 같은 object들을 포함하고 있습니다: 그림, 텍스트 라벨, 입력 항, 단위, 데이터 출력, 스페이서. 이러한 성분들을 사용하면, 앱은 해석을 위한 형상과 경계조건들에 대한 입력 변수들을 수집할 수 있습니다. 모든 입력 항들은 형상을 변경하거나 해석을 진행한 후 입력 변수들이 바뀌면, 앱의 현재 상태를 수정하기 위한 Events을 실행합니다.

디자인 변수 부분이 입력항 형태로 추가 되었습니다.

결과 분석과 정보 출력을 위한 부분에서 주목할 만한 기능은 subform을 통하여 추가되는 Information Card Stack입니다. Information Card Stack는 지정한 변수의 상태를 이용하여 아이콘 형태로 상태 문구를 출력합니다. “Stack”에서 “Card”들 중 하나는 해석 상태를 출력 할 수 있습니다. 제공되는 초기 상태는 세가지 경우를 포함하고 있습니다:

1. 해석 결과가 없습니다(There is no solution)
2. 이전 해석에서 입력 값이 바뀌었습니다(The input data has changed from the previous simulation)
3. 마지막 해석 시 소모 시간(The last computation time)

Information Card Stack의 초기 상태.

앱의 UI에서는 세가지 Information Card Stack이 존재합니다. 앱에서 선택된 변수의 상태에 따라, 각각의 스택은 다음을 사용자에게 알립니다:

• 해석 결과 사용 유/무, 입력 변수들의 변경, 마지막 해석에서 소모 시간
• 형상 출력 상태
• 사용자가 지정한 해석 목표와 비교한 해석 성공 여부

그림창은 Graphics로 불리우는 form object로 구성되어 있습니다. Graphics object는 안테나의 형상과 다양한 2차원 및 3차원 결과들을 출력합니다. 탭과 같이 동일 위치에 서로 다른 것들을 출력하기 위해서, 각 Graphics object는 Card Stack form object를 통하여 추가되었습니다. Card Stack의 선택된 변수에 의해 현재 Graphics object가 선택되어 집니다.

몇 몇의 form object들은 앱이 처음 시작되었을 때 출력되지 않습니다. 하지만 나중에는 출력됩니다. Compute버튼을 클릭하면 다이얼로그 창이 나타나고 상태 진행 막대가 해석 상태를 나타냅니다. Simulation Report버튼을 실행하면, 보고서를 생성하기 위한 형식을 선택하는 다이얼로그 창을 볼 수 있습니다.

form에서 실행되는 Progress bar와 옵션 선택 버튼

Check Box와 Slider form object들과 같이 이 앱에서는 사용되지 않은 다른 유용한 form object들도 존재합니다. Check Box object는 특정 시각화 기능을 활성화 시키거나 비활성화 시키기 위해 사용됩니다; 예를 들어 안테나 개구면에서 필드 결과를 제거하고자 할 때 사용할 수 있습니다. Slider object는 시각화를 위한 색 영역을 변경하거나 숫자를 직접 입력하지 않고 값을 수정하기 위해 입력 변수들 중 하나와 연결할 수도 있습니다.

UI를 제작할 때, Application Builder에서는 여러분이 원하는 것을 구현하기 위해 많은 기능들을 제공합니다. 그러므로 디자인은 전적으로 여러분의 선택에 달려 있습니다!

Slider와 Check Box form object들은 UI에서 다양한 기능을 제공합니다.

어떻게 Corrugated Circular Horn Antenna 해석용 앱을 만들까요?

여러분은 UI를 만들기 위한 기능들인 form object들과 같은 획기적인 기능들을 알고 있습니다. 하지만 여기에는 UI를 만들기 위해 Application Builder에 통합된 다른 기능들도 존재합니다: Form Editor와 Method Editor입니다. 위에서 언급한 바와 같이 이러한 Editor들을 이용하면 회사 직원들이나 설계 및 개발 과정에 연관된 사람들에게 공유할 수 있는 특정 해석 프로그램을 만들 수 있게 합니다.

Corrugated Circular Horn Antenna 해석 데모 앱 생성에 대한 작업과정을 살펴 보도록 하겠습니다. 다른 해석에 사용하기 위해서, 해석 모델은 Form Editor와 Method Editor를 사용하여 활발히 해석하기 위한 근원으로 동작합니다. 원본 모델의 형상은 앱에서 형상 값을 변화시킨 후에도 그에 대한 결과를 얻을 수 있도록 완벽히 변수화 되었습니다. 게다가 결과 그림들이 추가되고, 앱에서 더 다양한 정보들을 포함하기 위해 원본 모델에서 변경되었습니다.
먼저 모델을 변경하여 앱으로 만들기 위해서는 Ribbon메뉴의 Home탭에 존재하는 Application Builder버튼을 선택합니다.

Home탭의 Application Builder버튼은 Application Builder를 실행합니다.

Application Builder의 시작 화면은 다음의 그림과 같습니다:

앱을 만들기 시작할 때 나타나는 Application Builder창

리본 메뉴의 New Form버튼은 기본적인 앱의 형태를 만들고, 몇 번의 마우스 클릭만으로 앱을 만들 수 있는 아주 유용한 기능입니다.

New Form버튼은 앱을 만드는 과정을 간단하게 합니다.

New Form버튼을 실행하면, 앱을 만들기 위한 몇몇 과정을 수행하기 위한 설정 창이 나타납니다.

여러분들은 다음의 것들을 추가할 수 있습니다:

• 변수 설명을 이용한 텍스트 라벨을 가진 사용자 입력항
• 형상 출력과 결과 분석을 위한 그래픽 창
• 해석을 시작하거나 결과 출력, Method Editor를 이용하여 만들어 진 명령 실행을 위한 동작 버튼

Form설정은 앱을 아주 쉽게 만들 수 있게 합니다.

몇 가지 form object들을 추가하면, 우리의 최종적인 앱 화면은 다음과 같이 만들어 집니다:

다수의 Form과 Card Stack, 텍스트 라벨, 입력항, 단위, 그림 등으로 구성된 앱의 최종적인 기본 화면.

앱이 완성 되었습니까? 아직은 아닙니다. 지금부터 우리는 앱에서 실행되는 Method들에 대하여 알아보도록 하겠습니다. 여기에서는 몇 가지 method들에 대하여 다루어 볼 것입니다. Button form object는 명령어를 추가할 수 있는 위젯입니다. 이러한 명령어들은 Application Builder에 의해 미리 정의되거나 제안될 수도 있고, Method Editor를 이용하여 원하는 대로 만들 수도 있습니다.

이 예제에서 Compute버튼에는 해석을 실행하기 위해 제작된 method가 존재합니다.

Method가 설정된 Button form object와 아이콘.

위의 그림에서 하단 오른쪽 모서리에 있는 작은 아이콘을 주목 하여 주십시오. 이것은 form object에 method가 설정되어 있는 것을 알려 줍니다. 이 버튼의 method는 해당 아이콘을 선택하고 설정 창의 Choose Commands to Run부분에 method를 추가하면 실행 되어 집니다.

Choose Commands to Run부분에서 미리 정의된 명령어들이나 사용자가 정의한 method들을 추가할 수 있습니다.

Method는 버튼에 설정되기 전에 생성됩니다. 사용자는 리본 메뉴의 New Method버튼을 이용하여 새로운 method를 생성합니다.

New Method버튼은 빈 method를 추가 합니다.

만약 여러분이 Java®API에 대하여 알고 있다면, COMSOL의 Application Builder를 이용하는 것이 편리하다는 것을 알 수 있을 것입니다. Application Builder를 잘 모르시더라도 괜찮습니다. 리본 메뉴에는 사용자가 Model Builder에서 실행한 동작을 Method Editor에서 코드로 변환해 주는 Record Code라는 편리한 기능을 제공하기 때문입니다.

게다가 COMSOL Multiphysics에서는 Method들을 만들고 적용하는 것을 보여 주는 많은 데모 앱 들도 제공합니다. 이외의 앱을 만드는 데 필요한 기능들은 Introduction to Application Builder문서를 참고하여 주십시오.
이 앱의 Compute버튼에 설정된 method인 fRunAll은 다음과 같은 동작을 수행합니다:

• 상태 진행 막대 창을 출력 합니다.
• 형상 출력을 갱신 합니다.
• 해석을 실행합니다.
• 모든 결과 그림들을 갱신합니다.
• 텍스트 결과들을 갱신합니다.
• 간섭 편파 비율을 계산합니다.
• 모든 Information Card Stack들의 상태를 갱신합니다.
• 상태 진행 막대 창을 닫습니다.

우리는 입력 변수들에 대한 적절한 범위를 사용자에게 알려주는 안테나 해석 앱이 동작하도록 form들과 method들을 조합하여 만들었습니다. 이 앱은 차단 주파수와 파장을 알려 주고, 입력 변수 값들을 초기 입력 값으로 재설정 할 수 있으며, 2차원 축대칭 모델을 3차원 모델로 출력 하거나 안테나의 2차원 (이득)방사 패턴과 3차원 원거리장 방사 패턴 또한 확인 할 수 있습니다. 그리고 도파관을 통해 신호가 입력되는 부분과 안테나 개구면에서 간선 편파 비율을 분석하기 위해 전계 성분의 편향성 또한 출력할 수 있습니다. 게다가 각 입력 변수들을 형상에서 어느 부분에 해당하는지도 확인 할 수 있습니다. 앱에서 해석이 종료되면, 해석에 대한 보고서를 만들 수 있습니다. 만약 앱 사용자가 앱에 대하여 좀 더 자세히 알고자 할 경우, 내장된 응용 프로그램에 대한 문서를 열어 확인 할 수 있습니다. 다른 method를 추가하면 앱에서 여러분의 동료들에게 해석 보고서를 이메일로 보낼 수도 있습니다.

앱 제작자나 안테나 해석 전문가가 아닌 사람 모두 많은 해석 설정이나 물리적인 이해 없이 원하는 성능에 도달하도록 손쉽게 안테나 형상 변수들을 조절 할 수 있습니다.

앱은 사용자가 지정된 범위 밖의 값을 입력하는 것을 방지 하도록 만들어 졌습니다.

UI에서 원클릭으로 다양한 기능이 제공됩니다.

맞춤 제작된 보고서가 해석 결과를 요약하는 것을 도와 줍니다.

응용프로그램 문서에 손쉽게 접근할 수 있습니다.

해석을 위한 앱 생성방법 요약

앱 생성 방법에 대한 요약을 통하여 이번 블로그를 마무리 하도록 하겠습니다.
앱 생성에서 기본적인 작업과정은 다음과 같습니다:

1. 모델 생성
2. form들 추가
3. form object들 추가
4. 필요 시 method들 추가

처음 Corrugated Circular Horn Antenna Simulator 데모 앱을 열면 복잡하게 느껴 질 수 있지만, 자세히 살펴 보면 form들과 method들의 조합일 뿐입니다. 더 직관적인 UI를 만들어 주면, 더 뛰어나고 좋은 앱을 만들 수 있습니다.

항공 분야에서 통신시스템은 훨씬 더 복잡해 지고, 다수의 안테나들이 종종 하나의 항공기에 존재 합니다. 이로 인하여 항공기의 동작을 방해하는 혼선이나 코싸이트(Cosite) 간섭현상이 일어 납니다. COMSOL Multiphysics 5.1버전의 새로운 예제는 하나의 기체에 있는 동일한 송,수신 안테나들 사이의 간섭을 해석합니다.

최신식의 항공

안테나들은 항공기에서 중요한 역할을 합니다. 조종사들은 항공기의 안전한 배치와 현재 위치를 확인하기 위해 안테나들이 필요합니다. 이러한 확인은 특히 저녁이나 날씨가 좋지 않아 시인성이 낮을 때 중요합니다. 그러므로, 안전한 비행을 확인하기 위해 항공기의 안테나들은 높은 신뢰성을 가져야 합니다.

기체에 장착되어 있는 항공기의 안테나를 근접 촬영 하였습니다.

하나의 항공기에 다수의 안테나들이 존재하면 혼선이나 코싸이트 간섭과 같은 문제들이 발생할 수 있습니다. 이름과 같이 하나의 안테나의 전자기 신호들이 다른 안테나로 넘어가게 되면 간섭을 야기 합니다. 송,수신 안테나들 사이에 간섭이 일어나면, 전체 항공기 동작에 영향을 줍니다.

항공기 기체의 안테나 간섭을 해석하여, 사용자는 안전하고 효율적인 통신을 위한 송,수신 안테나의 위치를 결정할 수 있습니다. 지금부터 이와 관련하여 COMSOL Multiphysics 5.1버전에서 새롭게 추가된 예제를 살펴 보도록 하겠습니다.

항공기 기체상의 간섭 해석

항공기 모델은 금속 몸체와 기체 상부와 하부에 존재하는 두 개의 안테나들로 구성되어 있습니다. 금속 표면은 완전 도체(PEC)조건을 이용하여 모델링 합니다. 그리고 항공기는 무한 영역 설정을 위한 PML조건으로 둘러싸여 있는 구 형태의 공기 도메인 속에 있습니다. PML조건은 공기영역의 경계면에서 반사가 일어나지 않게 합니다.

송,수신 안테나가 표현된 항공기 형상. 안테나의 크기는 과장되었습니다.

안테나는 유전체 내부에 50Ohm의 기준 임피던스보다 입력 임피던스를 작게하는 꼬불꼬불한 선형태로 설계되어 있습니다. 큰 접지면상에 접혀진 모노폴 안테나 설계 기술이 낮은 초기 임피던스를 맞추기위해 사용되었습니다.

안테나를 해석하기 위해, 우리는 꾸불꾸불한 안테나 본체와 항공기 기체 사이에 Lumped Port를 설정합니다. 설정한 Lumped Port로부터 서로 다른 위치에 있는 안테나들 사이의 간섭 영향을 포함한 안테나 연결 특성들을 보여주는 S파라미터가 계산되어 집니다.

해석을 통하여 기체상의 음영지역과 신호 지역을 확인 할 수 있습니다. 음영지역은 송신 안테나의 신호가 방해를 받는 항공기의 날개나 꼬리부분, 바퀴다리 문 부분입니다. 반면에 신호지역은 장치들에 의해 차단되지 않는 영역입니다. 이것을 통하여 송신안테나로부터 간섭을 적게 받는 음영지역이 수신 안테나의 위치로 적당하다는 것을 알 수 있습니다. 하단의 그림은 송신 안테나의 전계 세기와 3가지 형태의 수신 안테나 위치에 따른 영향을 보여 줍니다.

항공기 하단의 수신 안테나의 세가지 위치에 대한 송신 안테나의 간섭

위와 같은 기체상의 전자파 분포 결과는 두 안테나들 사이의 혼선 정도를 판단하는데 도움됩니다.

하단의 그림에서는 수신 안테나 위치에 따른 전자파의 세기를 dB크기로 출력하였습니다. 이러한 결과를 통하여, 우리는 수신 안테나가 항공기 뒤쪽의 음영 지역에 있는 것이 가장 좋다고 추정할 수 있습니다. 이것은 수신 안테나 위치에 따른 S파라미터 결과들을 통하여 확인 되었습니다.

항공기 하단의 수신안테나 위치 변화에 따른 음역 지역.

사용자는 안전한 여행을 위한 항공기 기체 설계 시, COMSOL Multiphysics의 RF모듈을 이용한 안테나 혼선 해석을 통하여 안테나 위치를 최적화 할 수 있습니다.

이번 블로그에서는 자연 대류 문제를 해결하기 위해 Boussinesq approximation과 Navier-Stokes equations를 비교할 것입니다. COMSOL Multiphysics 소프트웨어에서 Boussinesq approximation를 구현하는 방법을 보여주고 그렇게 함으로써 얻어지는 잠재적인 이점에 대해서 논의할 것입니다.

응용분야: 정사각형 공동에서 자연대류

이 예제에서는 가열된 벽의 정사각형 공동 (square cavity)에서 Navier-Stokes equations 과 heat transfer equations를 연동시키는 모델을 사용할 것입니다. 왼쪽과 오른쪽에서 온도는 각각 293 K 와 294 K 입니다. 상단과 하단 부분의 벽은 절연되어 있습니다. 유체는 공기이고 각 변의 길이는 10cm 입니다.

세 가지 다른 접근 방법들을 사용하여 모델에 대한 계산적인 비용을 비교 할 것입니다:

1. Navier-Stokes equations을 이용한 계산 (접근방법1)
   
2. 압력 변화에 따른 Navier-Stokes equations을 이용한 계산 (접근방법2)
   
3. 압력 변화에 따른 Boussinesq approximation를 이용한 계산 (접근방법3)
   

COMSOL Multiphysics에서 모델은 Laminar Flow, Heat Transfer in Fluids 인터페이스, Non-Isothermal Flow multiphysics coupling를 사용하여 stationary로 해석을 합니다:

모델을 설정하는 동안에 유동이 난류 또는 층류인지 확인해 보는 것은 중요합니다. 자연 대류 문제에서는 Grashof number, Gr를 계산하여 확인합니다.

Grashof number는 점성력과 부력의 비율입니다. 값이 10⁸ 보다 작으면 층류 인 것을 나타내며, 값이 10⁹ 보다 크면 난류입니다. 이 모델 경우에는 Grashof number 값이 약 1.5×10⁵ 이므로 층류가 되겠습니다.

접근방법 1

Navier-Stokes equation를 사용할 때는, 부력을 ρg로 설정합니다:

부력 항이 볼륨 힘에 추가됩니다. nitf1.rho 와 g_const 항목은 온도와 압력에 의존하는 밀도, ρ와 중력 가속도, g를 각각 나타냅니다.

접근방법 2

압력에 따른 Navier-Stokes equations 계산 방법을 사용할 때는, 다음의 세 가지를 변경해 주어야 합니다.
첫 번째로, 볼륨 힘의 정의를 (ρ-ρ0)g와 같이 변경이 필요합니다, 예를 들면:

rho0 항목은 기준 밀도 ρ0를 나타냅니다.

다음으로, 변수 테이블에서 물질특성으로부터 기준 밀도 ρ0 와 기준 점성 를 계산합니다.

여기에서, PA와 T0는 기준 온도와 압력을 나타냅니다.

공기 점성은 로 설정됩니다:

접근방법 3

마지막으로, Boussinesq approximation 사용할 때는, 부력을 와 같은 설정이 필요합니다:

접근방법 2처럼, 물성 값으로부터 기준 밀도와 점성을 계산합니다. 접근방법 3에서 유체 밀도는 일정 기준 밀도 ρ0 로 설정합니다 (Boussinesq approximation에서 부력 항목을 제외하고는 밀도는 일정합니다).

유의: 만약 모델이 압력 경계 조건을 포함한다면, 접근 방법1에서는 압력을 정수압, -rho0*g_const*y으로 설정하고, 접근 방법 2와 3 경우에는 0[Pa]로 설정합니다.

메쉬는 15,000개 삼각형 요소와 1,200 개 boundary layer 요소로 만들어졌습니다. 이러한 메쉬는 일차 요소(first-order elements) 구성되어 있습니다.

결과

세 가지 접근방식에서 속도 크기와 유선 결과는 거의 동일합니다. 접근 방법 1과 2 사이의 최고 온도 차이는 2×10-6 K 보다 작고 접근 방법 1과 3 사이의 최고 온도 차이는 약 5×10-4 K입니다. 유일하게 다른 점은 시뮬레이션 시간입니다.

 

속도 크기와 유선

2D 시뮬레이션의 짧은 해석 시간(약 30초) 때문에, 솔버가 수렴하는 솔루션의 반복 횟수를 비교함으로써 계산 부하를 살펴봅니다. 이 모델 경우 반복 횟수는 CPU 시간에 거의 비례합니다.

아래 테이블은 세 가지 접근방법들의 반복 횟수의 비교를 보여줍니다.

	Approach 1	Approach 2	Approach 3
Number of Iterations	39	55	55

이들 결과들은 매우 놀랍습니다!

Boussinesq approximation는 모델의 비선형 성과 수렴에 필요한 반복 횟수를 감소 시킬 것으로 예상되는 반면, Navier-Stokes equations(39 반복) 는 Boussinesq approximation (55 반복) 보다 빠르게 해석 할 수 있습니다. 압력의 변화에 따른 Navier-Stokes equations는 Boussinesq approximation와 똑같은 반복 횟수를 보여줍니다.

결과들에 대해서 더 이해하기 위해서, pseudo time-stepping 알고리즘을 비활성화 한 후에 두 번째 시뮬레이션을 실행하였습니다. Pseudo time stepping는 수송 문제 (transport problem)에서 정상 상태 (steady state)에 대한 수렴의 안정화를 위해서 사용됩니다. pseudo time stepping는 Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) 수를 조절하는 adaptive feedback regulator에 의존합니다. Pseudo time stepping는 종종 모델을 수렴시키기 위해서 필요합니다.
이 모델 경우에는 Pseudo time stepping는 필요로 하지 않습니다.

pseudo time stepping를 포함하는 기본 솔버 설정을 위한 COMSOL Multiphysics 설정 창:

다음 그림은 pseudo time stepping를 포함하지 않고 있는 솔버 설정을 보여줍니다. 솔버 설정의 변경에 대해서 잘 알고 있지 않는 한, pseudo time stepping를 항상 사용하는 것을 권장합니다.

자연 대류에 대한 솔버 설정의 유의점:
자연 대류 모델에서 층류와 열 전달 물리 현상 간의 강력한 연동 때문에, 항상 fully coupled solver를 사용합니다. 자연 대류의 모델링에서 층류 물리에 볼륨 힘이 추가될 때, COSMOL 소프트웨어는 자동적으로 fully coupled solver로 변경됩니다.

두 번째 테이블은 pseudo time stepping 없는 반복 횟수를 보여줍니다:

	Approach 1	Approach 2	Approach 3
Number of Iterations	9	7	7

이러한 결과들은 pseudo time stepping 포함한 이전 결과들 보다 더 이치에 맞습니다. 접근방법 3는 가장 선형적인 문제이기 때문에, 접근방법 1 보다 빠르게 수렵합니다. 접근방법 2와 3는 놀랍게도 똑 같은 반복 횟수에서 수렴합니다.

이러한 두 번째 결과들과 첫 번 째 결과들과 비교해서, 접근방법 3 – Boussinesq approximation 경우 8 배 속도 증가 (55반복에서 7반복으로 줄어듦)가 관찰됩니다. 또한 첫 번 째 결과들에서 반복 횟수는 선형 문제와 pseudo time-stepping 알고리즘에 영향을 받는 다는 것을 보여줍니다.

무엇을 배웠습니까?

Boussinesq approximation방법과 압력의 변화에 따른 구현과 이점에 대해서 논의하였습니다. pseudo time stepping를 사용의 유무에 관계없이 이 특정 모델에서 Boussinesq approximation방법을 사용할 경우 계산 시간에 대한 실제적인 이득은 없다는 것을 결과에서 보여주고 있습니다. Boussinesq approximation는 비선형성이 작을 때만 유효한 방법이기 때문에 이 경우에는 일반적인 경우에 해당됩니다. Navier-Stokes equations에 비해서 Boussinesq approximation의 아주 짧은 계산 시간은 Boussinesq approximation 방법은 유효하지 않을 수도 있습니다.

Boussinesq approximation방법의 작은 해석 속도 증가와 이 방법의 해석 결과가 항상 유효할지 알 수 없기 때문에, 일반적으로 Navier-Stokes equations를 이용한 해석을 권장합니다. 그러나 압력 변화에 따른 구현(접근방법 2와 3)는 반올림 오류를 방지하고 시간 해석 문제 및 open boundaries 적용한 모델을 단순화 합니다. 이것은 다음 블로그 항목의 대상이 될 것입니다.

접근방법 3(압력의 변화에 따른 Boussinesq approximation)의 사용은 더 많은 구현 단계를 포함하고 접근방법 2(압력 변화에 따른 Navier-Stokes equations)와 비교해서 반복 횟수는 감소하지 않습니다. 온도와 압력에 따른 밀도와 온도에 따른 점성에 대한 계산을 요하지 않기 때문에 접근방법 3의 최종 시뮬레이션 시간은 약간 짧아 질 수 있지만, 이러한 속도 증가를 체감하지 못할 것입니다.

pseudo time-stepping 알고리즘을 해제한 상태에서 접근방법의 선택에 따라서 반복 횟수는 계수 4에서 8만큼 감소합니다. 그러나 pseudo time stepping를 적용하지 않거나 load ramping 또는 nonlinearity ramping 관련된 설정 없이 대부분의 문제들은 수렴하지 않는다는 것을 유념하시기 바랍니다.

CFD 또는 Heat Transfer 모듈을 사용하여 이 모델에 대해서 설정하고 해석을 할 수 있습니다. 만약 모델에 대해서 질문에 있다면 기술 지원 팀에 연락을 주시기 바랍니다. 만약 COMSOL Multiphysics 사용자가 아니고 소프트웨어에 대해서 자세한 내용을 알고 싶다면, 제공되는 양식을 통해 문의해 주시기 바랍니다.